Développer et réduire les expressions suivantes :
1)
(a+b)(a−b)
Développement :
On utilise la distributivité :
(a+b)(a−b)=a(a−b)+b(a−b)
On développe chaque produit :
a(a−b)=a
2
−ab
b(a−b)=ba−b
2
On combine les termes semblables :
a
2
−ab+ba−b
2
Réduction :
On remarque que
ab et
ba se simplifient :
a
2
−ab+ba−b
2
=a
2
−b
2
Résultat :
(a+b)(a−b)=a
2
−b
2
2)
(x+y)
2
−(x−y)
2
Développement :
On développe le premier carré :
(x+y)
2
=(x+y)(x+y)=x
2
+2xy+y
2
On développe le deuxième carré :
(x−y)
2
=(x−y)(x−y)=x
2
−2xy+y
2
On soustrait les deux expressions :
(x
2
+2xy+y
2
)−(x
2
−2xy+y
2
)
Réduction :
On remarque que
x
2
et
y
2
se simplifient :
(x
2
+2xy+y
2
)−(x
2
−2xy+y
2
)=4xy
Résultat :
(x+y)
2
−(x−y)
2
=4xy
3)
(a+b+c)(a+b−c)
Développement :
On utilise la distributivité :
(a+b+c)(a+b−c)=(a+b+c)(a+b)−(a+b+c)(c)
On développe chaque produit :
(a+b+c)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)+c(a+b)
(a+b+c)(c)=a(c)+b(c)+c(c)
On développe chaque produit :
a(a+b)=a
2
+ab
b(a+b)=ab+b
2
c(a+b)=ac+bc
a(c)=ac
b(c)=bc
c(c)=c
2
On combine les termes semblables :
a
2
+2ab+b
2
+ac+bc+c
2
−ac−bc−c
2
Réduction :
On remarque que
ac,
bc, et
c
2
se simplifient :
a
2
+2ab+b
2
=a
2
+2ab+b
2
Résultat :
(a+b+c)(a+b−c)=a
2
+2ab+b
2
4)
(x
2
+y
2
)(x
2
−y
2
)
Développement :
On utilise la distributivité :
(x
2
+y
2
)(x
2
−y
2
)=x
2
(x
2
−y
2
)+y
2
(x
2
−y
2
)
On développe chaque produit :
x
2
(x
2
−y
2
)=x
4
−x
2
y
2
y
2
(x
2
−y
2
)=x
2
y
2
−y
4
On combine les termes semblables :
x
4
−x
2
y
2
+x
2
y
2
−y
4
Réduction :
On remarque que
x
2
y
2
se simplifient :
x
4
−y
4
=x
4
−y
4
Résultat :
(x
2
+y
2
)(x
2
−y
2
)=x
4
−y
4
5)
(a−b)
3
Développement :
On utilise la distributivité :
$(a - b)^3 = (