التمرين 57 ص 30 رياضيات 3 ثانوي علوم تجريبية
النص:
الدالة f(x) = x^2 + 1
أوجد x بحيث f(x) = 2
الحل:
باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة، نعلم أن هناك عددا حقيقيا c بين 0 و 1 بحيث f'(c) = (f(1) - f(0)) / (1 - 0) = (2 - 1) / 1 = 1
وبالتالي f'(c) = 1
و بما أن f(x) = x^2 + 1، فإن f'(x) = 2x
وبالتالي 2c = 1
و c = 1/2
و بما أن c بين 0 و 1، فإن x = c = 1/2
الإجابة:
x = 1/2
شرح الحل:
الخطوة الأولى هي تحديد الدالة التي نبحث عنها. في هذا التمرين، الدالة هي f(x) = x^2 + 1.
الخطوة الثانية هي تحديد القيمة التي نبحث عنها. في هذا التمرين، القيمة هي f(x) = 2.
الخطوة الثالثة هي تطبيق مبرهنة القيم المتوسطة. هذه المبرهنة تنص على أنه إذا كانت الدالة f(x) مستمرة على الأعداد الحقيقية من a إلى b، و f(a) ≠ f(b)، فإن هناك عددا حقيقيا c بين a و b بحيث f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
في هذا التمرين، a = 0 و b = 1، و f(a) = 1 و f(b) = 2.
وبالتالي، باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة، نعلم أن هناك عددا حقيقيا c بين 0 و 1 بحيث f'(c) = (2 - 1) / (1 - 0) = 1
الخطوة الرابعة هي إيجاد f'(x). في هذا التمرين، f'(x) = 2x
الخطوة الخامسة هي حل معادلة f'(x) = 1. في هذا التمرين، معادلة f'(x) = 1 هي 2x = 1
الخطوة السادسة هي إيجاد x. في هذا التمرين، x = 1/2
وبذلك نجد أن x = 1/2 هو الحل للتمرين.