إثبات قابلية القسمه على 15 لعدد بالقوة
العدد 15 هو مضاعف للعددين 3 و 5. لذلك، فإن العدد يقبل القسمة على 15 إذا كان قابلا للقسمة على كلا العددين 3 و 5.
قابلية القسمة على 3
يمكن إثبات قابلية القسمة على 3 باستخدام قاعدة القسمة على 3، والتي تنص على أن العدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابلا للقسمة على 3.
بالنسبة لعدد بالقوة، يمكن كتابة مجموع أرقامه على النحو التالي:
N = a^n + (a-1)^n + ... + 1
حيث:
- N هو العدد بالقوة
- a هو الأس
يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة على النحو التالي:
N = (a^n + 1) - (a^n - 1)
يمكن ملاحظة أن a^n + 1 و a^n - 1 هما عددان متباعدان بمقدار 2. لذلك، فإن مجموعهما قابل للقسمة على 2.
ولأن 2 هو مضاعف للعدد 3، فإن مجموع أرقام العدد بالقوة قابل للقسمة على 3.
قابلية القسمة على 5
يمكن إثبات قابلية القسمة على 5 باستخدام قاعدة القسمة على 5، والتي تنص على أن العدد يقبل القسمة على 5 إذا كان آخر رقم فيه قابلا للقسمة على 5.
بالنسبة لعدد بالقوة، يمكن ملاحظة أن آخر رقم فيه هو a.
إذا كان a زوجي، فإن العدد قابل للقسمة على 5.
إذا كان a فردي، فإن العدد 15-a زوجي.
ولأن 15-a هو آخر رقم في 15-N، فإن العدد 15-N قابل للقسمة على 5.
وبالتالي، فإن العدد N قابل للقسمة على 5.
الخاتمة
بناءً على ما سبق، يمكن إثبات قابلية القسمة على 15 لعدد بالقوة باستخدام قاعدة القسمة على 3 وقاعدة القسمة على 5.
مثال
العدد 3^4 = 81
مجموع أرقامه هو:
81 = 1 + 8 + 9 + 1
والذي هو قابل للقسمة على 3.
آخر رقم فيه هو 1، والذي هو قابل للقسمة على 5.
وبالتالي، فإن العدد 3^4 قابل للقسمة على 15.