تمرين 102ص109
المسألة:
تعطى دالة حقيقية f(x) محددة بالمعادلة التفاضلية التالية:
f'(x) = f(x)e^x
أوجد دالة f(x).
الحل:
نقوم بإجراء التكامل على طرفي المعادلة التفاضلية، نحصل على:
f(x) = C e^x
حيث C هي ثابتة التكامل.
نفرض أن x = 0، نحصل على:
f(0) = C e^0
حيث C هي ثابتة التكامل.
بما أن f(0) = 1، نحصل على:
1 = C e^0
1 = C
إذن:
f(x) = e^x
الجواب:
f(x) = e^x
شرح الحل:
في هذا التمرين، نقوم بحل معادلة تفاضلية أولية من الدرجة الأولى من نوع f'(x) = k f(x).
لحل هذا النوع من المعادلات، نقوم بإجراء التكامل على طرفي المعادلة، نحصل على:
∫ f'(x) dx = ∫ k f(x) dx
f(x) = C + k ∫ f(x) dx
حيث C هي ثابتة التكامل.
نفرض أن x = 0، نحصل على:
f(0) = C + k ∫ f(0) dx
حيث C هي ثابتة التكامل.
بذلك، يمكننا إيجاد قيمة ثابتة التكامل C.
في هذا التمرين، نفرض أن f(0) = 1، نحصل على:
1 = C + k ∫ 1 dx
1 = C + k
C = 1 - k
بذلك، نحصل على الحل العام للمعادلة التفاضلية:
f(x) = (1 - k) e^x
وفي هذا التمرين، نعلم أن k = 1، إذن:
f(x) = (1 - 1) e^x
f(x) = e^x