حل مسألة المحدد
فهم المسألة
لدينا مصفوفة مربعة من الرتبة 3×3، نعرف قيم بعض عناصرها، ونعلم أن قيمة محدد هذه المصفوفة تساوي صفر. المطلوب هو إيجاد قيمة العدد س.
بناء المصفوفة
نكتب المصفوفة وفقًا للمعطيات:
| 1 0 س |
| س 4 2 |
| 6 3 0 |
حساب المحدد
نستخدم إحدى طرق حساب المحدد، مثل طريقة ساركوس أو طريقة لابلاس.
سنستخدم هنا طريقة ساركوس (التوسع بالصف الأول):
الخطوة الأولى: نضرب كل عنصر في الصف الأول في محدد المصفوفة الصغرى المتبقية بعد حذف الصف والعمود اللذين يحتويان على هذا العنصر.
الخطوة الثانية: نبدل الإشارات بالتناوب (+, -, +) ابتداءً من العنصر الأول.
الخطوة الثالثة: نجمع حاصل الضربات مع مراعاة الإشارات.
محدد المصفوفة = 1 * |4 2| - 0 * |س 2| + س * |س 4|
|3 0| |6 0| |6 3|
بالتبسيط:
محدد المصفوفة = 1 * (4*0 - 2*3) - 0 + س * (س*0 - 4*6)
= -6 - 24س
حل المعادلة
نعلم أن قيمة المحدد تساوي صفر، لذا:
-6 - 24س = 0
بحل هذه المعادلة:
24س = -6
س = -6 / 24
س = -1/4
الجواب
إذن، قيمة س هي -1/4.
وبالتالي، المصفوفة هي:
| 1 0 -1/4 |
|-1/4 4 2 |
| 6 3 0 |
ملاحظة: يمكن التحقق من صحة الحل بإعادة حساب المحدد للمصفوفة النهائية، حيث يجب أن يكون الناتج صفرًا.
ختامًا: تم حل المسألة باستخدام مفهوم المحددات وقواعد حسابها.