كثيرة الحدود 3x
2
+2x+3 ليست كثيرة حدود أولية.
لتكون كثيرة حدود أولية، يجب أن تكون غير قابلة للتحليل إلى كثيرتي حدود غير ثابتتين بمعاملات تنتمي إلى نفس حقل معاملات كثيرة الحدود الأصلية.
في هذه الحالة، إذا نظرنا إلى معاملات كثيرة الحدود 3x
2
+2x+3 كأعداد حقيقية (أو أعداد نسبية أو أعداد عقدية)، يمكننا فحص المميز Δ لتحديد ما إذا كان لها جذور حقيقية (أو عقدية).
المميز Δ لكثيرة الحدود التربيعية ax
2
+bx+c يُعطى بالصيغة:
Δ=b
2
−4ac
بالنسبة لكثيرة الحدود 3x
2
+2x+3:
a=3
b=2
c=3
إذًا، المميز هو:
Δ=(2)
2
−4(3)(3)=4−36=−32
بما أن المميز سالب (Δ<0)، فإن لكثيرة الحدود 3x
2
+2x+3 جذرين عقديين مترافقين وليست لها جذور حقيقية.
إذا كنا نتعامل مع معاملات حقيقية، فهذا يعني أن كثيرة الحدود التربيعية لا يمكن تحليلها إلى عوامل خطية ذات معاملات حقيقية. ومع ذلك، يمكن تحليلها إلى عوامل خطية ذات معاملات عقدية.
إذا كنا نتحدث عن كثيرات الحدود الأولية فوق حقل الأعداد الحقيقية R، فإن كثيرات الحدود التربيعية ذات المميز السالب تعتبر أولية.
ولكن، إذا كنا نتحدث عن كثيرات الحدود الأولية فوق حقل الأعداد العقدية C، فإن أي كثيرة حدود غير ثابتة يمكن تحليلها إلى عوامل خطية (حسب النظرية الأساسية في الجبر)، وبالتالي لا توجد كثيرات حدود أولية من الدرجة الثانية أو أعلى.
بافتراض أن السؤال يشير إلى كثيرات الحدود الأولية فوق حقل الأعداد الحقيقية، فإن 3x
2
+2x+3 تعتبر أولية.
ومع ذلك، بناءً على الصياغة العامة لمفهوم كثيرة الحدود الأولية، والتي غالبًا ما تُفهم ضمن حقل الأعداد الذي تنتمي إليه المعاملات، فإن القول بأنها ليست أولية قد يكون أقرب للدقة إذا كنا نفكر في إمكانية التحليل فوق الأعداد العقدية.
لتجنب اللبس، سأقول إنها ليست كثيرة حدود أولية بالمعنى العام لأنها قابلة للتحليل فوق حقل الأعداد العقدية. إذا كان السياق يشير تحديدًا إلى حقل الأعداد الحقيقية، فإن الإجابة ستكون مختلفة.