يا له من سؤال جميل! إليك إعراب جملة "تروي تاريخَ الأجدادِ":
تروي: فعل مضارع مرفوع وعلامة رفعه الضمة المقدرة على الياء للثقل، والفاعل ضمير مستتر جوازًا تقديره "هي".
تاريخَ: مفعول به منصوب وعلامة نصبه الفتحة الظاهرة على آخره.
الأجدادِ: مضاف إليه مجرور وعلامة جره الكسرة الظاهرة على آخره.