Question

خلال تعلم دوال تحتوي على نمط الاستدعاء الذاتي، كتبت عبير النمط التالي: A[1] = 1 A[2] = 2 A[3] = 3 A[4] = A[1] A[2] * A[3] واستنتجت بأن الشكل العام للدالة هي: A[i] = A[i 3] A[i 2] * A[i 1] ما هي قيمة باقي قسمة A[167] على 113.، سؤال في المنهج التعليمي السعودي، في ساعدني نساعدك علي التعلم والدراسة وتحقيق اعلي الدرجات الدراسية.

مرحبا بك من جديد في ساعدني، بوابتك التعليمية.

سؤال :خلال تعلم دوال تحتوي على نمط الاستدعاء الذاتي، كتبت عبير النمط التالي: A[1] = 1 A[2] = 2 A[3] = 3 A[4] = A[1] A[2] * A[3] واستنتجت بأن الشكل العام للدالة هي: A[i] = A[i 3] A[i 2] * A[i 1] ما هي قيمة باقي قسمة A[167] على 113.؟

إجابة الطالب هي:

Answer 1

أهلاً بك! يبدو أن عبير تحاول تعريف متتالية بطريقة استدعائية ذاتية. لنحل هذه المسألة خطوة بخطوة.
المتتالية معرفة كالتالي:
A[1]=1
A[2]=2
A[3]=3
A[4]=A[1]⋅A[2]⋅A[3]=1⋅2⋅3=6
والشكل العام الذي استنتجته عبير هو:
A[i]=A[i−3]⋅A[i−2]⋅A[i−1]
لنحسب بعض الحدود الأولى من المتتالية باستخدام هذا الشكل العام:
A[5]=A[2]⋅A[3]⋅A[4]=2⋅3⋅6=36
A[6]=A[3]⋅A[4]⋅A[5]=3⋅6⋅36=648
A[7]=A[4]⋅A[5]⋅A[6]=6⋅36⋅648=139968
المطلوب هو إيجاد باقي قسمة A[167] على 113. حساب الحد رقم 167 مباشرة سيكون صعباً للغاية. ربما يوجد نمط في بواقي القسمة على 113. لنحسب بواقي القسمة لبعض الحدود الأولى:
A[1]≡1(mod113)
A[2]≡2(mod113)
A[3]≡3(mod113)
A[4]≡6(mod113)
A[5]≡36(mod113)
A[6]≡648(mod113)
648=5⋅113+83⟹A[6]≡83(mod113)
A[7]≡6⋅36⋅83(mod113)
A[7]≡216⋅83(mod113)
216=1⋅113+103⟹216≡103(mod113)
A[7]≡103⋅83(mod113)
103⋅83=8549
8549=75⋅113+74⟹A[7]≡74(mod113)
الآن، لنحسب A[8]:
A[8]=A[5]⋅A[6]⋅A[7]≡36⋅83⋅74(mod113)
36⋅83=2988
2988=26⋅113+50⟹36⋅83≡50(mod113)
A[8]≡50⋅74(mod113)
50⋅74=3700
3700=32⋅113+84⟹A[8]≡84(mod113)
نستمر في الحساب:
A[9]=A[6]⋅A[7]⋅A[8]≡83⋅74⋅84(mod113)
83⋅74=6142
6142=54⋅113+40⟹83⋅74≡40(mod113)
A[9]≡40⋅84(mod113)
40⋅84=3360
3360=29⋅113+93⟹A[9]≡93(mod113)
A[10]=A[7]⋅A[8]⋅A[9]≡74⋅84⋅93(mod113)
74⋅84=6216
6216=55⋅113+1⟹74⋅84≡1(mod113)
A[10]≡1⋅93≡93(mod113)
A[11]=A[8]⋅A[9]⋅A[10]≡84⋅93⋅93(mod113)
84⋅93=7812
7812=69⋅113+15⟹84⋅93≡15(mod113)
A[11]≡15⋅93(mod113)
15⋅93=1395
1395=12⋅113+39⟹A[11]≡39(mod113)
A[12]=A[9]⋅A[10]⋅A[11]≡93⋅93⋅39(mod113)
93⋅93=8649
8649=76⋅113+61⟹93⋅93≡61(mod113)
A[12]≡61⋅39(mod113)
61⋅39=2379
2379=21⋅113+6⟹A[12]≡6(mod113)
A[13]=A[10]⋅A[11]⋅A[12]≡93⋅39⋅6(mod113)
93⋅39=3627
3627=32⋅113+11⟹93⋅39≡11(mod113)
A[13]≡11⋅6≡66(mod113)
A[14]=A[11]⋅A[12]⋅A[13]≡39⋅6⋅66(mod113)
39⋅6=234
234=2⋅113+8⟹39⋅6≡8(mod113)
A[14]≡8⋅66(mod113)
8⋅66=528
528=4⋅113+76⟹A[14]≡76(mod113)
A[15]=A[12]⋅A[13]⋅A[14]≡6⋅66⋅76(mod113)
6⋅66=396
396=3⋅113+57⟹6⋅66≡57(mod113)
A[15]≡57⋅76(mod113)
57⋅76=4332
4332=38⋅113+38⟹A[15]≡38(mod113)
A[16]=A[13]⋅A[14]⋅A[15]≡66⋅76⋅38(mod113)
66⋅76=5016
5016=44⋅113+44⟹66⋅76≡44(mod113)
A[16]≡44⋅38(mod113)
44⋅38=1672
1672=14⋅113+90⟹A[16]≡90(mod113)
A[17]=A[14]⋅A[15]⋅A[16]≡76⋅38⋅90(mod113)
76⋅38=2888
2888=25⋅113+63⟹76⋅38≡63(mod113)
A[17]≡63⋅90(mod113)
63⋅90=5670
5670=50⋅113+20⟹A[17]≡20(mod113)
A[18]=A[15]⋅A[16]⋅A[17]≡38⋅90⋅20(mod113)
38⋅90=3420
3420=30⋅113+30⟹38⋅90≡30(mod113)
A[18]≡30⋅20≡600(mod113)
600=5⋅113+35⟹A[18]≡35(mod113)
A[19]=A[16]⋅A[17]⋅A[18]≡90⋅20⋅35(mod113)
90⋅20=1800
1800=15⋅113+105⟹90⋅20≡105(mod113)
A[19]≡105⋅35(mod113)
105⋅35=3675
3675=32⋅113+59⟹A[19]≡59(mod113)
A[20]=A[17]⋅A[18]⋅A[19]≡20⋅35⋅59(mod113)
20⋅35=700
700=6⋅113+22⟹20⋅35≡22(mod113)
A[20]≡22⋅59(mod113)
22⋅59=1298
1298=11⋅113+55⟹A[20]≡55(mod113)
A[21]=A[18]⋅A[19]⋅A[20]≡35⋅59⋅55(mod113)
35⋅59=2065
2065=18⋅113+31⟹35⋅59≡31(mod113)
A[21]≡31⋅55(mod113)
31⋅55=1705
1705=15⋅113+10⟹A[21]≡10(mod113)
A[22]=A[19]⋅A[20]⋅A[21]≡59⋅55⋅10(mod113)
59⋅55=3245
3245=28⋅113+81⟹59⋅55≡81(mod113)
A[22]≡81⋅10≡810(mod113)
810=7⋅113+19⟹A[22]≡19(mod113)
A[23]=A[20]⋅A[21]⋅A[22]≡55⋅10⋅19(mod113)
55⋅10=550
550=4⋅113+98⟹55⋅10≡98(mod113)
A[23]≡98⋅19(mod113)
98⋅19=1862
1862=16⋅113+66⟹A[23]≡66(mod113)
A[24]=A[21]⋅A[22]⋅A[23]≡10⋅19⋅66(mod113)
10⋅19=190
190=1⋅113+77⟹10⋅19≡77(mod113)
A[24]≡77⋅66(mod113)
77⋅66=5082
5082=44⋅113+110⟹A[24]≡110≡−3(mod113)
A[25]=A[22]⋅A[23]⋅A[24]≡19⋅66⋅(−3)(mod113)
19⋅66=1254
1254=11⋅113+11⟹19⋅66≡11(mod113)
A[25]≡11⋅(−3)≡−33≡80(mod113)
A[26]=A[23]⋅A[24]⋅A[25]≡66⋅(−3)⋅80(mod113)
66⋅(−3)=−198
−198=−2⋅113+28⟹−198≡28(mod113)
A[26]≡28⋅80(mod113)
28⋅80=2240
2240=19⋅113+93⟹A[26]≡93(mod113)
A[27]=A[24]⋅A[25]⋅A[26]≡(−3)⋅80⋅93(mod113)
(−3)⋅80=−240
$-240 = -3 \cdot 113 + 99 \implies -

Answer 2

إجابة سؤال خلال تعلم دوال تحتوي على نمط الاستدعاء الذاتي، كتبت عبير النمط التالي: A[1] = 1 A[2] = 2 A[3] = 3 A[4] = A[1] A[2] * A[3] واستنتجت بأن الشكل العام للدالة هي: A[i] = A[i 3] A[i 2] * A[i 1] ما هي قيمة باقي قسمة A[167] على 113.: