إذا كان لدينا أ=90
∘
−2ب، فهذا يعني أن 2أ=180
∘
−4ب.
وبما أننا نعلم أن جتا(2ب)−جا(2ب)=
5
3
، يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد جا(2أ) و جتا(2أ).
أولًا، لإيجاد جا(2أ):
جا(2أ)=جا(180
∘
−4ب)
وبما أن جا(180
∘
−س)=جا(س)، فإن:
جا(2أ)=جا(4ب)
نحن نعلم أن جا(4ب)=2جا(2ب)جتا(2ب).
لإيجاد قيم جا(2ب) و جتا(2ب) من المعادلة جتا(2ب)−جا(2ب)=
5
3
، يمكننا تربيع الطرفين:
(جتا(2ب)−جا(2ب))
2
=(
5
3
)
2
جتا
2
(2ب)−2جا(2ب)جتا(2ب)+جا
2
(2ب)=
25
9
بما أن جتا
2
(س)+جا
2
(س)=1:
1−2جا(2ب)جتا(2ب)=
25
9
1−جا(4ب)=
25
9
جا(4ب)=1−
25
9
جا(4ب)=
25
25−9
جا(4ب)=
25
16
إذن، جا(2أ)=
25
16
.
ثانيًا، لإيجاد جتا(2أ):
جتا(2أ)=جتا(180
∘
−4ب)
وبما أن جتا(180
∘
−س)=−جتا(س)، فإن:
جتا(2أ)=−جتا(4ب)
نحن نعلم أن جتا(4ب)=جتا
2
(2ب)−جا
2
(2ب).
من المعادلة جتا(2ب)−جا(2ب)=
5
3
، لدينا.
وبما أن جتا
2
(2ب)−جا
2
(2ب)=(جتا(2ب)−جا(2ب))(جتا(2ب)+جا(2ب))، نحتاج إلى إيجاد جتا(2ب)+جا(2ب).
لدينا جا(4ب)=2جا(2ب)جتا(2ب)=
25
16
.
ولدينا أيضًا (جتا(2ب)+جا(2ب))
2
=جتا
2
(2ب)+2جا(2ب)جتا(2ب)+جا
2
(2ب)=1+2جا(2ب)جتا(2ب)=1+جا(4ب).
(جتا(2ب)+جا(2ب))
2
=1+
25
16
=
25
25+16
=
25
41
جتا(2ب)+جا(2ب)=±
25
41
=±
5
41
.
بما أن أ و ب زاويتان حادتان، فإن 2ب تقع في الربع الأول أو الثاني.
بما أن جا(2ب) و جتا(2ب) زوايا حادة، فإن 2ب تقع بين 0
∘
و 90
∘
لذلك جا(2ب) و جتا(2ب) موجبتان، وبالتالي جتا(2ب)+جا(2ب) يجب أن تكون موجبة.
إذن، جتا(2ب)+جا(2ب)=
5
41
.
الآن، يمكننا إيجاد جتا(4ب):
جتا(4ب)=(جتا(2ب)−جا(2ب))(جتا(2ب)+جا(2ب))
جتا(4ب)=(
5
3
)(
5
41
)
جتا(4ب)=
25
3
41
وبالتالي، جتا(2أ)=−جتا(4ب)=−
25
3
41
.