حل الهندسة صف الثامن صفحة ١٧ يتضمن حل تمارين القطع المكافئ. هذه التمارين تتناول التعريفات الأساسية للقطع المكافئ، مثل المحور الرئيسي، والمحور الثانوي، ونقطة الانعطاف، ورأس القطع المكافئ، والرسم البياني للقطع المكافئ.
التمرين 1
أوجد المحور الرئيسي والمحور الثانوي لقطع المكافئ الموضح في الشكل التالي:
[صورة لقطع مكافئ]
الحل:
يمر محور القطع المكافئ بنقطة الانعطاف، والتي هي نقطة التقاطع بين القطع المكافئ والمحور الثانوي. في هذا الشكل، نقطة الانعطاف هي النقطة (0، 4). لذلك، يكون محور القطع المكافئ هو الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (0، 4).
يمكننا إيجاد المحور الثانوي باستخدام معادلة القطع المكافئ. معادلة القطع المكافئ في هذا الشكل هي:
y = 2x^2 - 8x + 16
عند x = 0، نحصل على:
y = 16
لذلك، يكون المحور الثانوي هو الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (0، 16).
التمرين 2
ارسم شكل القطع المكافئ الموضح في المعادلة التالية:
y = 2x^2 - 8x + 16
الحل:
يمكننا رسم شكل القطع المكافئ باستخدام معادلته. معادلة القطع المكافئ في هذا الشكل هي معادلة من الدرجة الثانية، لذلك يمكننا رسمه باستخدام الشبكة البيانية.
أولاً، نحدد المحور الرئيسي والمحور الثانوي. كما ذكرنا في التمرين السابق، يمر محور القطع المكافئ بالنقطة الانعطاف، والتي هي نقطة التقاطع بين القطع المكافئ والمحور الثانوي. في هذا الشكل، نقطة الانعطاف هي النقطة (0، 4). لذلك، يكون محور القطع المكافئ هو الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (0، 4).
يمكننا إيجاد المحور الثانوي باستخدام معادلة القطع المكافئ. معادلة القطع المكافئ في هذا الشكل هي:
y = 2x^2 - 8x + 16
عند x = 0، نحصل على:
y = 16
لذلك، يكون المحور الثانوي هو الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (0، 16).
بعد تحديد المحور الرئيسي والمحور الثانوي، يمكننا رسم القطع المكافئ. نبدأ برسم المحور الرئيسي والمحور الثانوي، ثم نرسم منحنى القطع المكافئ الذي يمر بنقطة الانعطاف ونقاط أخرى على الشبكة البيانية.
في هذا الشكل، نقطة الانعطاف هي النقطة (0، 4). نرسم خط مستقيم يمر بهذه النقطة. ثم، نختار نقطة أخرى على الشبكة البيانية، مثل النقطة (1، 8). نرسم خط مستقيم يمر بهذه النقطة. نستمر في رسم خطوط مستقيمة تمر بنقاط أخرى على الشبكة البيانية حتى نرسم منحنى القطع المكافئ بالكامل.
[صورة لشكل قطع مكافئ]
التمرين 3
أوجد قيم x التي تحقق المعادلة التالية:
y = 2x^2 - 8x + 16
الحل:
نمكن حل هذه المعادلة باستخدام التحليل المثلثي. نبدأ بتحويل المعادلة إلى صيغة الميل:
y - 4 = 2(x - 0)^2
y - 4 = 2x^2
y = 2x^2 + 4
القطع المكافئ في هذه المعادلة هو قطع مكافئ متناظر حول محور الx. لذلك، يمكننا إيجاد قيم x التي تحقق المعادلة باستخدام المعادلة التالية:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
في هذه المعادلة، a = 2، b = -8، وc = 4.
x = \frac{+ 8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}
x = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{4}
x = \frac{8 \pm