تكامل cos(hy)cos(x) باستخدام التكامل الجزئي بالنسبة لـ y:
لحل هذا التكامل، سنستخدم طريقة التكامل الجزئي مرتين.
الخطوة الأولى: التكامل الجزئي الأول:
نفترض أن:
u = cos(hy)
dv = cos(x) dx
بالتالي:
du = hy*sin(hy) dy
v = sin(x)
طبقًا لمعادلة التكامل الجزئي:
∫ u * dv = u * v - ∫ v * du
نحصل على:
∫ cos(hy) * cos(x) dx = cos(hy) * sin(x) - ∫ sin(x) * hy*sin(hy) dy
الخطوة الثانية: التكامل الجزئي الثاني:
نفترض مرة أخرى:
u = hy*sin(hy)
dv = sin(x) dx
بالتالي:
du = (h^2*y^2 + 1)cos(hy) dy
v = - cos(x)
طبقًا لمعادلة التكامل الجزئي:
∫ hy*sin(hy) * sin(x) dx = hy*sin(hy) * (-cos(x)) - ∫ (-cos(x)) * ((h^2*y^2 + 1)cos(hy)) dy
الخطوة الثالثة: تبسيط التكامل:
بعد تبسيط التكامل، نحصل على:
∫ cos(hy)cos(x) dx = cos(hy)sin(x) + h*y*cos(hy)sin(x) - h^2*y^2 ∫ cos(hy)sin(x) dx - ∫ cos(x) dx
الخطوة الرابعة: حل التكامل:
يمكن إعادة كتابة التكامل المتبقي باستخدام التكامل بالتعويض:
∫ cos(hy)sin(x) dx = 1/h ∫ cos(u) du = 1/h sin(u)
حيث u = hy.
وبالتالي، فإن التكامل النهائي هو:
∫ cos(hy)cos(x) dx = cos(hy)sin(x) + h*y*cos(hy)sin(x) - h^2*y^2/h sin(hy) - sin(x) + C
حيث C هو ثابت التكامل.
ملاحظة: يمكن تبسيط هذا التكامل أكثر باستخدام خصائص الدوال المثلثية.