برهان أن جذر 5 عدد غير نسبي:
1. تعريف العدد النسبي:
العدد النسبي هو أي عدد يمكن كتابته ككسر من عددين صحيحين (ب، أ) حيث أ ≠ 0.
2. فرضية البرهان بالخلف:
نفترض أن جذر 5 عدد نسبي، أي يمكن كتابته ككسر من عددين صحيحين (ب، أ) حيث أ ≠ 0.
3. تبسيط الكسر:
يمكننا تبسيط الكسر بحيث يصبح (ب، أ) في أبسط صورة له، أي أن ب وأ لا يملكان قواسم مشتركة.
4. تربيع طرفي الكسر:
نقوم بتربيع طرفي الكسر (ب، أ) لنحصل على (ب^2، أ^2).
5. تحليل 5 إلى عوامل:
نقوم بتحليل 5 إلى عوامل ونحصل على 5 = 5.
6. التناقض:
من خلال تحليل 5 إلى عوامل، نجد أن أ^2 يجب أن يكون قاسمًا لـ 5.
7. استنتاج التناقض:
بما أن أ^2 عدد صحيح، فإن 5 يجب أن يكون قاسمًا لـ أ.
8. التناقض الثاني:
لكن هذا يتناقض مع كون (ب، أ) في أبسط صورة له، حيث لا يملكان قواسم مشتركة.
9. نفي الفرضية:
بما أننا وصلنا إلى تناقض، فإن فرضية أن جذر 5 عدد نسبي خاطئة.
10. ختام البرهان:
لذلك، نستنتج أن جذر 5 عدد غير نسبي.
ملاحظة:
يمكن استخدام نفس الطريقة لإثبات أن جذر أي عدد غير مربع كامل عدد غير نسبي.