لا، √3 ليس جذرًا نسبيًا كليًا.
البرهان:
الافتراض: لنفترض أن √3 هو جذر نسبي كلي.
التعبير عن √3 ككسر:
√3 = a/b، حيث a و b عددان صحيحان، و b ≠ 0.
يمكننا تبسيط الكسر بحيث يكون a و b بدون قواسم مشتركة.
تربيع الطرفين:
(√3)^2 = (a/b)^2
3 = a^2 / b^2
3b^2 = a^2
استنتاج:
من المعادلة 3b^2 = a^2، نستنتج أن a^2 قاسم لـ 3.
بما أن a عدد صحيح، فهذا يعني أن a نفسه قاسم لـ 3.
بالتالي، يمكننا كتابة a على شكل 3k، حيث k عدد صحيح.
استبدال a بـ 3k:
3b^2 = (3k)^2
b^2 = 3k^2
من المعادلة b^2 = 3k^2، نستنتج أن b^2 قاسم لـ 3.
بما أن b عدد صحيح، فهذا يعني أن b نفسه قاسم لـ 3.
التناقض:
توصلنا إلى أن كل من a و b قاسمان لـ 3.
لكن هذا يتناقض مع افتراضنا بأن a و b بدون قواسم مشتركة.
الخلاصة:
لا يمكن التعبير عن √3 ككسر من عددين صحيحين بدون قواسم مشتركة.
√3 هو جذر غير نسبي.
ملاحظة:
يمكن إثبات أن √3 غير نسبي بطرق أخرى أكثر تعقيدًا.
يمكن تعميم هذا البرهان لإثبات أن √n غير نسبي لأي عدد صحيح n غير مربع كامل.