Question

√3هل هو جذر نسبي كلي؟ اهلا بكم في موقع ساعدني البوابه الالكترونيه للحصول على المساعدة في ايجاد معلومات دقيقة قدر الإمكان من خلال إجابات وتعليقات الاخرين الذين يمتلكون الخبرة.

يسعدنا أن نقدم لكم إجابة علي سؤال √3هل هو جذر نسبي كلي؟

في الختام وبعد أن قدمنا إجابة سؤال √3هل هو جذر نسبي كلي؟ نتمنى لكم دوام التميز والنجاح، ونتمنى أن تستمروا في متابعة موقع ساعدني، وأن تستمروا في الحفاظ على طاعة الله والسلام.    

Answer 1

لا، √3 ليس جذرًا نسبيًا كليًا.
البرهان:
الافتراض: لنفترض أن √3 هو جذر نسبي كلي.
التعبير عن √3 ككسر:
√3 = a/b، حيث a و b عددان صحيحان، و b ≠ 0.
يمكننا تبسيط الكسر بحيث يكون a و b بدون قواسم مشتركة.
تربيع الطرفين:
(√3)^2 = (a/b)^2
3 = a^2 / b^2
3b^2 = a^2
استنتاج:
من المعادلة 3b^2 = a^2، نستنتج أن a^2 قاسم لـ 3.
بما أن a عدد صحيح، فهذا يعني أن a نفسه قاسم لـ 3.
بالتالي، يمكننا كتابة a على شكل 3k، حيث k عدد صحيح.
استبدال a بـ 3k:
3b^2 = (3k)^2
b^2 = 3k^2
من المعادلة b^2 = 3k^2، نستنتج أن b^2 قاسم لـ 3.
بما أن b عدد صحيح، فهذا يعني أن b نفسه قاسم لـ 3.
التناقض:
توصلنا إلى أن كل من a و b قاسمان لـ 3.
لكن هذا يتناقض مع افتراضنا بأن a و b بدون قواسم مشتركة.
الخلاصة:
لا يمكن التعبير عن √3 ككسر من عددين صحيحين بدون قواسم مشتركة.
√3 هو جذر غير نسبي.
ملاحظة:
يمكن إثبات أن √3 غير نسبي بطرق أخرى أكثر تعقيدًا.
يمكن تعميم هذا البرهان لإثبات أن √n غير نسبي لأي عدد صحيح n غير مربع كامل.