الضرب الداخلي (النقطي) في الرياضيات:
تعريفه:
في الجبر الخطي، يُعرّف الضرب الداخلي (أو النقطي) لمتجهين أ و ب، الموجودين في فضاء إتجاهي ذي بعد n، بأنه عملية حسابية تُنتج عدداً سكّاليًا. يتمّ إجراؤها من خلال ضرب كل عنصر في المتجه أ بنظيره في المتجه ب، ثمّ جمع حاصل الضرب لكلّ زوج من العناصر المتناظرة.
رمزه:
يُرمز للضرب الداخلي للمتجهين أ و ب بالرمز <أ، ب>.
صيغته:
يمكن التعبير عن صيغة الضرب الداخلي للمتجهين أ = (a1, a2, ..., an) و ب = (b1, b2, ..., bn) كالتالي:
<أ، ب> = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
خصائص الضرب الداخلي:
التبادلية: <أ، ب> = <ب، أ>
التوزيعية على الجمع:
<أ، ب + ج> = <أ، ب> + <أ، ج>
<ب، أ + ج> = <ب، أ> + <ب، ج>
الترابط مع الضرب بالعدد:
<cA، ب> = c<أ، ب>
<أ، cB> = c<أ، ب>
طاقة المتجه: <أ، أ> = ||أ||^2، حيث تمثل ||أ|| طول المتجه أ.
التعامد: متجهان أ و ب متعامدان إذا وفقط إذا كان <أ، ب> = 0.
تطبيقات الضرب الداخلي:
إيجاد طول المتجه: ||أ|| = √<أ، أ>
إيجاد الزاوية بين متجهين:
θ = arccos(<أ، ب> / (||أ|| * ||ب||))
إسقاط متجه على متجه آخر:
إسقاط أ على ب: proj_B(A) = (<أ، ب> / <ب، ب>) * ب
تحليل متجه إلى مكونات متعامدة:
يمكن تحليل أي متجه أ إلى مكونات متعامدة على متجهات الوحدة i، j، k في الفضاء الإحداثي ثلاثي الأبعاد: أ = ai + bj + ck حيث a = <أ، i>، b = <أ، j>، c = <أ، k>
ملاحظات:
يُستخدم الضرب الداخلي بكثرة في مجالات الهندسة والفيزياء، مثل حساب العمل، والطاقة، والقوة، والعزم.
يُعدّ الضرب الداخلي عملية أساسية في الجبر الخطي، وله العديد من التطبيقات في مجالات أخرى مثل:
رسومات الكمبيوتر
التعلم الآلي
معالجة الإشارات
التحكم في النظم
مواقع ويب مفيدة:
https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%B6%D8%A7%D8%A1_%D8%AE%D8%A7%D8%B1%D8%AC%D9%8A
https://sahl.io/sa/lesson/2429/%D8%AB%D8%A7%D9%84%D8%AB-%D8%AB%D8%A7%D9%86%D9%88%D9%8A/%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA/%D8%A7%D9%84%D8%B6%D8%B1%D8%A8-%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%AE%D9%84%D9%8A
https://m.youtube.com/watch?v=vtRvxtYmrCk