الضرب الداخلي
الضرب الداخلي هو عملية رياضية بين متجهين في الفضاء، وينتج عنه عددًا حقيقيًا. يُرمز للضرب الداخلي بين متجهين u و v بالرمز ⟨u,v⟩.
تعريف الضرب الداخلي:
⟨u,v⟩ = u1v1 + u2v2 + ... + unvn
حيث u = (u1, u2, ..., un) و v = (v1, v2, ..., vn) هما متجهان في الفضاء.
خصائص الضرب الداخلي:
- الضرب الداخلي متناظر: ⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩
- الضرب الداخلي موجب: ⟨u,u⟩ ≥ 0، ويكون صفرًا إذا كان المتجهان متعامدين.
- الضرب الداخلي للمتجهين المتساويين يساوي حاصل ضرب طوليهما: ⟨u,u⟩ = |u|^2
تطبيقات الضرب الداخلي:
- طول متجه: |u| = √⟨u,u⟩
- زاوية بين متجهين: cos θ = ⟨u,v⟩ / |u||v|
- مسافة بين نقطتين: d(P,Q) = √⟨P-Q,P-Q⟩
الضرب الاتجاهي
الضرب الاتجاهي هو عملية رياضية بين متجهين في الفضاء، وينتج عنه متجهًا جديدًا. يُرمز للضرب الاتجاهي بين متجهين u و v بالرمز u × v.
تعريف الضرب الاتجاهي:
u × v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
حيث u = (u1, u2, u3) و v = (v1, v2, v3) هما متجهان في الفضاء.
خصائص الضرب الاتجاهي:
- **الضرب الاتجاهي هو متجه عمودي على كل من المتجهين u و v.
- **الضرب الاتجاهي يعتمد على اتجاه المتجهين u و v.
- الضرب الاتجاهي للمتجهين المتطابقين يساوي صفرًا: u × v = (0,0,0)
تطبيقات الضرب الاتجاهي:
- توليد متجه عمودي: u × v
- تحديد إذا كان متجهان متوازيان أو متعامدان: u × v = 0 إذا كان المتجهان متوازيان، وu × v ≠ 0 إذا كان المتجهان متعامدان.
- تحديد إذا كان خطان متوازيان أو متعامدان: P × Q = 0 إذا كان الخطان متوازيان، وP × Q ≠ 0 إذا كان الخطان متعامدان.
- تحديد إذا كان مستوىان متوازيان أو متعامدان: P × Q = 0 إذا كان المستويان متوازيان، وP × Q ≠ 0 إذا كان المستويان متعامدان.
أمثلة على الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي:
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
⟨u,v⟩ = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 42
u = (1, 2, 3)
v = (4, 5, 6)
u × v = (2 * 6 - 3 * 5, 3 * 4 - 1 * 6, 1 * 5 - 2 * 4) = (-2, 1, -3)
ملخص
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي هما عمليتان رياضيتان مهمة للمتجهات في الفضاء. الضرب الداخلي ينتج عنه عددًا حقيقيًا، بينما ينتج عن الضرب الاتجاهي متجهًا جديدًا.