دراسة تغيرات الدالة
لدراسة تغيرات الدالة f، نقوم بدراسة إشارة الدالة في مختلف قطاعات المجال، وذلك من خلال دراسة إشارة المشتقة f'.
جدول تغيرات الدالة
جدول تغيرات الدالة f هو جدول يبين إشارة الدالة في مختلف قطاعات المجال. ويتكون هذا الجدول من ثلاثة أعمدة:
- العمود الأول: يبين قيم x في مختلف القطاعات.
- العمود الثاني: يبين إشارة الدالة f في كل قطاع.
- العمود الثالث: يبين اتجاه تغيرات الدالة في كل قطاع.
مثال
لندرس تغيرات الدالة f(x) = x^2 - 2x + 3
دراسة إشارة المشتقة
المشتقة الأولى للدالة f هي f'(x) = 2x - 2
لدراسة إشارة المشتقة، نعتبر قيم x التالية:
- x = -1: f'(-1) = 0
- x = 0: f'(0) = -2
- x = 1: f'(1) = 1
من قيم المشتقة عند هذه النقاط، نلاحظ أن:
- f'(x) > 0 لـ x < 0
- f'(x) = 0 لـ x = 0
- f'(x) < 0 لـ x > 0
بناء جدول تغيرات الدالة
من دراسة إشارة المشتقة، نلاحظ أن:
- الدالة f تزداد لـ x < 0
- الدالة f ثابتة لـ x = 0
- الدالة f تنقص لـ x > 0
بناءً على ذلك، يكون جدول تغيرات الدالة f كما يلي:
| x |
إشارة f |
اتجاه تغيرات f |
| x < 0 |
موجبة |
صاعدة |
| x = 0 |
صفر |
ثابتة |
| x > 0 |
سالبة |
هابطة |
تفسير بياني
يمكن تفسير نتائج دراسة تغيرات الدالة f بيانياً من خلال رسم منحنى الدالة.
من الرسم البياني، نلاحظ أن:
- الدالة f تزداد لـ x < 0، أي أن منحنى الدالة صاعد لـ x < 0.
- الدالة f ثابتة لـ x = 0، أي أن منحنى الدالة مستقيم لـ x = 0.
- الدالة f تنقص لـ x > 0، أي أن منحنى الدالة هابط لـ x > 0.
ملاحظات
- يمكن استخدام طرق أخرى لدراسة تغيرات الدالة، مثل دراسة إشارة الدالة في مختلف القيم القصوى والصغرى للدالة.
- يمكن استخدام جدول تغيرات الدالة لدراسة سلوك الدالة في مختلف القطاعات، مثل تحديد نقاط تقاطع منحنى الدالة مع المحاور.