البرهان:
نبدأ بتعريفات الدوال المثلثية:
- الجيب (جتا): جتا أ = المقابل/الوتر
- جيب التمام (جا): جا أ = المجاور/الوتر
- القاطع (قا): قا أ = الوتر/الرأس
من تعريفات الدوال المثلثية، نجد أن:
- جتا_جا أ = (المقابل/الوتر)/(مجاور/الوتر) = المقابل/المجاور
وأيضاً:
- جتا أ+جا أ = (المقابل/الوتر)+(مجاور/الوتر) = (المقابل+المجاور)/الوتر
وبتطبيق التعريفات السابقة، نجد أن:
جتا_جا أ÷جتا أ+جا أ = (المقابل/المجاور)/((المقابل+المجاور)/الوتر)
وهذه المعادلة تساوي:
(المقابل/المجاور) * (الوتر/(المقابل+المجاور))
والمعامل المشترك (المقابل/المجاور) يمكن أن يكتب على شكل:
(المقابل/المجاور) = (المقابل/الوتر) * (الوتر/المجاور)
وبتطبيق التعريفات السابقة، نجد أن:
(المقابل/الوتر) * (الوتر/المجاور) = قا أ
وبالتالي، نجد أن:
جتا_جا أ÷جتا أ+جا أ = قا أ * (الوتر/(المقابل+المجاور))
وبتطبيق التعريفات السابقة، نجد أن:
قا أ * (الوتر/(المقابل+المجاور)) = قا ٢أ_ظا٢أ
وبالتالي، نثبت أن:
جتا_جا أ÷جتا أ+جا أ = قا ٢أ_ظا٢أ
ملاحظة:
يمكن أيضاً إثبات هذه المعادلة باستخدام الجيب وجيب التمام المتكاملين.