برهان:
لنفترض أن جذر 23 عددا ناطقا، أي أنه يمكن كتابة جذر 23 على شكل كسر عادي a/b، حيث a و b أعداد صحيحة غير صفرية، و b غير مساوٍ للصفر.
ثم نطبق مربع كليهما على المعادلة a/b = √23
a²/b² = 23
a² = 23b²
بما أن 23 عددا أوليا، فإن 23 لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح غير نفسه، وبالتالي فإن 23b² لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح غير نفسه.
وهذا يعني أن a² لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح غير نفسه، وبالتالي فإن a لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح غير نفسه.
ولكن هذا تناقض، لأن a عدد صحيح، وبالتالي فإنه يجب أن يقبل القسمة على عدد صحيح واحد على الأقل، وهو نفسه.
وبالتالي، فإن فرضيتنا خاطئة، أي أن جذر 23 ليس عددا ناطقا.
الخلاصة:
جذر 23 ليس عددا ناطقا، لأن 23 عددا أوليا، وبالتالي فإن جذر 23 لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح غير نفسه.
مثال توضيحي:
لنفترض أن جذر 23 = 3/2، أي أن √23 = 3/2
ثم نطبق مربع كليهما على المعادلة 3/2 = √23
9/4 = 23
9 = 92
هذا تناقض، لأن 9 يساوي نفسه، وبالتالي فإن فرضيتنا خاطئة.
وبالتالي، فإن جذر 23 ليس عددا ناطقا.