برهان بالخلف
افترض أن √5 عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على الصورة a/b حيث a و b عددان صحيحان غير صفر، و b لا يساوي 1.
إذن، √5 = a/b
وهذا يعني أن 5 = a²/b²
وهذا يعني أن 5b² = a²
وهذا يعني أن a² مقسم على 5 بالعدد الصحيح b².
بما أن 5 هو عدد أولي، فإن 5b² هو عدد أولي أو عدد صحيح مضلع.
إذا كان 5b² هو عدد أولي، فإن a² هو عدد أولي مضلع.
وهذا يعني أن a هو عدد أولي مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
إذا كان 5b² هو عدد صحيح مضلع، فإن a² هو عدد صحيح مضلع.
وهذا يعني أن a هو عدد صحيح مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
الخاتمة
بما أن كلا الحالتين غير ممكنتين، فإن افتراضنا الأول خاطئ، وبالتالي فإن √5 ليس عدد ناطق.
برهان آخر
افترض أن √5 عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على الصورة a/b حيث a و b عددان صحيحان غير صفر، و b لا يساوي 1.
إذن، √5 = a/b
وهذا يعني أن 5 = a²/b²
وهذا يعني أن 5b² = a²
وهذا يعني أن a² مقسم على 5 بالعدد الصحيح b².
بما أن 5 هو عدد أولي، فإن 5b² هو عدد أولي أو عدد صحيح مضلع.
إذا كان 5b² هو عدد أولي، فإن a² هو عدد أولي مضلع.
وهذا يعني أن a هو عدد أولي مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
إذا كان 5b² هو عدد صحيح مضلع، فإن a² هو عدد صحيح مضلع.
وهذا يعني أن a هو عدد صحيح مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
الخاتمة
بما أن كلا الحالتين غير ممكنتين، فإن افتراضنا الأول خاطئ، وبالتالي فإن √5 ليس عدد ناطق.
الشرح
في كلا البرهانين، نبدأ بافتراض أن √5 عدد ناطق. ثم نستخدم هذا الافتراض لإثبات أن a² مقسم على 5 بالعدد الصحيح b².
بما أن 5 هو عدد أولي، فإن 5b² هو عدد أولي أو عدد صحيح مضلع.
إذا كان 5b² هو عدد أولي، فإن a² هو عدد أولي مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
إذا كان 5b² هو عدد صحيح مضلع، فإن a² هو عدد صحيح مضلع.
ولكن هذا غير ممكن، لأن a/b هو عدد ناطق، وبالتالي فإن a يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
في كلتا الحالتين، يؤدي افتراضنا الأول إلى نتيجة تناقضية، وبالتالي فإن هذا الافتراض خاطئ.
وبالتالي، فإن √5 ليس عدد ناطق.