عدد ناطق هو عدد يمكن كتابته على شكل كسر عادي، حيث يكون البسط والمقام أعداد صحيحة غير صفرية.
نثبت أن جذر 2 ليس عدد ناطق باستخدام البرهان بالخلف. نفترض أن جذر 2 عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على شكل كسر عادي m/n، حيث يكون m و n أعداد صحيحة غير صفرية.
نقوم بتربيع كلا الطرفين في المعادلة التالية:
m/n = √2
m^2/n^2 = 2
m^2 = 2n^2
نقسم كلا الطرفين في المعادلة التالية على 2:
m^2/2 = n^2
m = ±√2n
بما أن m و n أعداد صحيحة، فإن √2n يجب أن تكون أيضًا عددًا صحيحًا.
لكن هذا مستحيل، لأن √2 هو عدد غير قابل للاختزال، أي أنه لا يمكن التعبير عنه على شكل كسر عادي m/n، حيث يكون m و n أعداد صحيحة غير صفرية.
وبالتالي، فإن افتراضنا بأن جذر 2 عدد ناطق خاطئ، أي أن جذر 2 ليس عدد ناطق.
يمكننا أيضًا إثبات أن جذر 2 ليس عدد ناطق باستخدام طريقة أخرى، وهي طريقة التقريب.
نقوم بتقريب جذر 2 إلى أقرب عدد صحيح، فنحصل على 1.4142135623730950488016887242097.
نقوم بتقريب الجذر مرة أخرى، فنحصل على 1.4142135623730950488016887242097.
نستمر في هذا التقريب إلى ما لا نهاية، دون أن نصل إلى عدد ثابت.
هذا يعني أن جذر 2 ليس عددًا قابلًا للاختزال، أي أنه ليس عددًا ناطقًا.