برهان بالخلف
لنفترض أن جذر 2 عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على شكل كسر بسيط a/b، حيث a و b عددان صحيحان غير صفر، و b لا يساوي 1.
بضرب طرفي المعادلة a/b = √2 في b، نحصل على a = √2 * b
برفع الطرفين إلى القوة الثانية، نحصل على a^2 = 2b^2
بما أن a و b عددان صحيحان، فإن a^2 و b^2 عددان صحيحان أيضاً.
بما أن 2b^2 عدد زوجي، فإن a^2 يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن a عدد صحيح، فإن a يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن a زوجي، فإن a يمكن كتابته على شكل a = 2c، حيث c عدد صحيح.
بوضع هذه القيمة في المعادلة a = √2 * b، نحصل على 2c = √2 * b
بضرب طرفي المعادلة في √2، نحصل على 2c√2 = b
برفع الطرفين إلى القوة الثانية، نحصل على 4c^2 = b^2
بما أن b عدد صحيح، فإن b^2 عدد صحيح أيضاً.
بما أن 4c^2 عدد زوجي، فإن b^2 يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن b عدد صحيح، فإن b يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
ولكن هذا تناقض، لأننا افترضنا في البداية أن b لا يساوي 1.
إذن، فرضيتنا خاطئة، وبالتالي فإن جذر 2 ليس عدد ناطقاً.
برهان آخر
لنفترض أن جذر 2 عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على شكل كسر بسيط a/b، حيث a و b عددان صحيحان غير صفر، و b لا يساوي 1.
بضرب طرفي المعادلة a/b = √2 في b^2، نحصل على a^2 = 2b^2
بما أن a و b عددان صحيحان، فإن a^2 و b^2 عددان صحيحان أيضاً.
بما أن 2b^2 عدد زوجي، فإن a^2 يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن a عدد صحيح، فإن a يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن a زوجي، فإن a يمكن كتابته على شكل a = 2c، حيث c عدد صحيح.
بوضع هذه القيمة في المعادلة a^2 = 2b^2، نحصل على 4c^2 = 2b^2
بقسمة طرفي المعادلة على 2، نحصل على 2c^2 = b^2
بما أن b عدد صحيح، فإن b^2 عدد صحيح أيضاً.
بما أن 2c^2 عدد زوجي، فإن b^2 يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
بما أن b عدد صحيح، فإن b يجب أن يكون زوجياً أيضاً.
ولكن هذا تناقض، لأننا افترضنا في البداية أن b لا يساوي 1.
إذن، فرضيتنا خاطئة، وبالتالي فإن جذر 2 ليس عدد ناطقاً.
شرح البرهان
في البرهان الأول، نبدأ بافتراض أن جذر 2 عدد ناطق، ثم نحصل على تناقض. هذا يعني أن فرضيتنا خاطئة، وبالتالي فإن جذر 2 ليس عدد ناطقاً.
في البرهان الثاني، نستخدم نفس الفكرة، ولكن بدلاً من ضرب المعادلة في b^2، نقسمها على 2. هذا يؤدي إلى نفس النتيجة، وهي أن فرضية أن جذر 2 عدد ناطق خاطئة.
خلاصة
برهان أن جذر 2 ليس عدد ناطقاً هو برهان بسيط ولكنه فعال. يعتمد على فكرة أن إذا كان جذر 2 عدد ناطقاً، فيجب أن يكون عدداً زوجياً. ولكن هذا تناقض، لأننا افترضنا في البداية أن جذر 2 عدد غير زوجي.