برهان بالخلف
لنفترض أن جذر 2 هو عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على شكل نسبة بين عددين صحيحين:
√2 = a/b
حيث a و b عددان صحيحان غير مساويين للصفر، و b غير منقسم على 2.
ثم نقوم بضرب طرفي المعادلة في b، ونحصل على:
2 = a^2/b^2
ثم نقوم بطرح 1 من كلا الطرفين، ونحصل على:
1 = a^2/b^2 - 1
ثم نقوم بإعادة ترتيب المعادلة، ونحصل على:
a^2 = b^2 - b^2
وهذا يعني أن a^2 = 0، وهو مستحيل، لأن مربع أي عدد صحيح غير يساوي 0.
وبالتالي، فإن افتراضنا بأن جذر 2 هو عدد ناطق هو افتراض خاطئ، وبالتالي فإن جذر 2 ليس عددا ناطقا.
برهان آخر
لنفترض أن جذر 2 هو عدد ناطق، أي أنه يمكن كتابته على شكل نسبة بين عددين صحيحين:
√2 = a/b
حيث a و b عددان صحيحان غير مساويين للصفر، و b غير منقسم على 2.
ثم نقوم بتربيع كلا الطرفين، ونحصل على:
2 = a^2/b^2
ثم نقوم بضرب كلا الطرفين في b^2، ونحصل على:
2b^2 = a^2
حيث a و b عددان صحيحان، وبالتالي فإن a^2 هو عدد صحيح زوجي.
ولكن من المعروف أن مربع أي عدد صحيح فردي هو عدد فردي، وبالتالي فإن a^2 لا يمكن أن يكون عددا صحيحا زوجيا.
وبالتالي، فإن افتراضنا بأن جذر 2 هو عدد ناطق هو افتراض خاطئ، وبالتالي فإن جذر 2 ليس عددا ناطقا.
الخاتمة
بناءً على البرهانين السابقين، يمكننا أن نخلص إلى أن جذر 2 ليس عددا ناطقا.