الإجابة على هذا السؤال هي:
(3+5i)(-3-5i) = 25
(-3+5i)(3-5i) = 25
(3-5i)(-3+5i) = 25
(-3-5i)(3+5i) = 25
أي أنّ العددين المركبين هما (3+5i) و (-3-5i) أو (-3+5i) و (3-5i).
ويمكن إثبات ذلك رياضيًا كالتالي:
(a+bi)(c+di) = ac + (ad + bc)i + bd i^2
= ac + (ad + bc)i - bd
حيث أنّ i^2 = -1
إذاً، (a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i
وحاصل ضرب هذين العددين المركبين هو:
(a+bi)(c+di)(a+bi)(c+di) = a^2c^2 + (-a^2d + bc^2)i + (2abcd + a^2b + c^2d)i^2
= a^2c^2 + (-a^2d + bc^2)i - 2abcd - a^2b - c^2d
وحاصل جمعهما هو:
(a+bi)(c+di) + (a+bi)(c+di) = a^2c^2 - 2abcd + bc^2 + a^2c^2 - 2abcd + bc^2
= 2a^2c^2 - 4abcd + 2bc^2
إذاً، 2a^2c^2 - 4abcd + 2bc^2 = 25
4a^2c^2 - 8abcd + 4bc^2 = 50
a^2c^2 - 2abcd + bc^2 = 12.5
وبتطبيق المعادلة (a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad + bc)i، يمكننا إيجاد قيمتي a و b كالتالي:
a^2c^2 - 2abcd + bc^2 = (ac - bd)^2
12.5 = (ac - bd)^2
√12.5 = √(ac - bd)^2
√5 = ac - bd
ac - bd = 5
إذاً، ac = 5 + bd
a = (5 + bd)/c
b = (ac - 5)/c
يمكننا الآن اختيار قيمتين عشوائيتين لـ c و d، ثم إيجاد قيمتي a و b من خلال المعادلات المذكورة أعلاه.
على سبيل المثال، إذا اخترنا c = 1 و d = 1، فإننا نحصل على:
a = (5 + bd)/c = (5 + 1)/1 = 6
b = (ac - 5)/c = (6 - 5)/1 = 1
وبذلك، فإنّ العددين المركبين هما (3+5i) و (-3-5i).
ولكن، يمكننا أيضًا الحصول على نفس العددين المركبين إذا اخترنا c = -1 و d = -1، أو c = 1 و d = -1، أو c = -1 و d = 1.