اثبات
لنفترض أن R هو مصفوفة دوران، و v هو متجه.
لنحسب متجه Rv كالتالي:
Rv = R * v
لنحسب متجه R^2v كالتالي:
R^2v = R * R * v
بتطبيق قانون الضرب المتكرر للمصفوفات، نحصل على:
R^2v = (R * R) * v
بما أن R مصفوفة دوران، فإن R * R = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة.
وبالتالي، نحصل على:
R^2v = I * v
بما أن I هي مصفوفة الوحدة، فإن I * v = v.
وبالتالي، نحصل على:
R^2v = v
وبمقارنة Rv مع R^2v، نحصل على:
Rv = R^2v
وبالتالي، Rv=R.
تبسيط
يمكن تبسيط الدليل السابق على النحو التالي:
Rv = R * v
R^2v = R * R * v
R^2v = I * v
Rv = R * v
بما أن R * v = v، فإن Rv = R.
تطبيق
يمكن تطبيق هذا الدليل على العديد من التطبيقات، مثل:
- الديناميكا الروبوتية
- تقدير الحالة
- معالجة الصور
- الرؤية الحاسوبية
على سبيل المثال، في الديناميكا الروبوتية، يمكن استخدام هذا الدليل لإثبات أن متجه السرعة الزاوي لنقطة ما يظل ثابتًا إذا تم تدوير النقطة حول محور ثابت.
في تقدير الحالة، يمكن استخدام هذا الدليل لإثبات أن مصفوفة التحويل من الفضاء الأصلي إلى الفضاء الملاحظ تظل ثابتة إذا تم تدوير الفضاء الملاحظ حول محور ثابت.