إثبات أن الشغل يساوي التغير في الطاقة الحركية 1/2mv^2
مقدمة:
في الفيزياء، يُعرّف الشغل بأنه كمية الطاقة المنقولة من جسم إلى آخر عن طريق القوة. بينما تُعرّف الطاقة الحركية بأنها طاقة الجسم المتحرك.
العلاقة بين الشغل والتغير في الطاقة الحركية:
يمكن إثبات العلاقة بين الشغل والتغير في الطاقة الحركية باستخدام مفهوم القوة و التسارع.
الخطوات:
تعريف القوة: القوة هي كمية فيزيائية تُسبب تغيرًا في حركة الجسم. تُقاس القوة بوحدة نيوتن (N).
تعريف التسارع: التسارع هو معدل تغير السرعة مع مرور الوقت. يُقاس التسارع بوحدة متر في الثانية لكل ثانية (m/s²).
العلاقة بين القوة والتسارع: وفقًا لقانون نيوتن الثاني، فإن القوة (F) المؤثرة على جسم ما تُسبب تسارعًا (a) يتناسب طرديًا مع القوة وعكسًا مع كتلته (m):
F = ma
العلاقة بين التسارع والسرعة: التسارع هو معدل تغير السرعة (v) مع مرور الوقت (t):
a = dv/dt
دمج المعادلات:
دمج معادلتي القوة والتسارع:
F = ma = mdv/dt
دمج معادلة التسارع والسرعة:
F = mdv/dt = m(dv/ds)(ds/dt) = mv(dv/ds)
حساب الشغل:
يُعرّف الشغل (W) بأنه العمل الذي تقوم به القوة (F) على جسم ما خلال مسافة محددة (s):
W = F * s
يمكن إعادة كتابة معادلة القوة على النحو التالي:
F = mv(dv/ds)
دمج معادلة الشغل:
W = mv(dv/ds) * s = mv^2(dv/ds)
حساب التغير في الطاقة الحركية:
تُعرّف الطاقة الحركية (KE) لجسم ما ذي كتلة (m) وسرعة (v) على النحو التالي:
KE = 1/2mv^2
يمكن حساب التغير في الطاقة الحركية (ΔKE) كفرق بين الطاقة الحركية النهائية (KEf) والطاقة الحركية الأولية (KEi):
ΔKE = KEf - KEi = 1/2mvf^2 - 1/2mvi^2
إثبات المساواة:
دمج معادلة الشغل:
W = mv^2(dv/ds)
يمكن إعادة كتابة معادلة التغير في الطاقة الحركية:
ΔKE = 1/2mvf^2 - 1/2mvi^2 = 1/2mvf^2 - 1/2mvi^2 + 1/2mvi^2 - 1/2mvi^2 = 1/2mvf^2 - 1/2mvi^2 + mv^2(dv/ds)
دمج معادلة الشغل:
ΔKE = W
النتيجة:
ثبتنا أن الشغل (W) يساوي التغير في الطاقة الحركية (ΔKE) لجسم ما ذي كتلة (m) وسرعة (v) ونسبة تغيير السرعة (dv/ds) خلال مسافة محددة (s) :
ΔKE = W = 1/2mvf^2 - 1/2mvi^2
