لحل المسألة، نبحث عن عددين \( x \) و \( y \) بحيث:
1. \( x \times y = 34 \)
2. \( x - y = 15 \)
من المعادلة الثانية، نعبر عن \( x \) بدلالة \( y \):
\[ x = y + 15 \]
نعوض \( x \) في المعادلة الأولى:
\[ (y + 15) \times y = 34 \]
\[ y^2 + 15y = 34 \]
\[ y^2 + 15y - 34 = 0 \]
نحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
حيث \( a = 1 \)، \( b = 15 \)، \( c = -34 \):
\[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 136}}{2} \]
\[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{361}}{2} \]
\[ y = \frac{-15 \pm 19}{2} \]
نحصل على حلين:
1. \( y = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( y = \frac{-34}{2} = -17 \)
نعوض \( y \) في \( x = y + 15 \):
1. إذا كان \( y = 2 \):
\[ x = 2 + 15 = 17 \]
2. إذا كان \( y = -17 \):
\[ x = -17 + 15 = -2 \]
إذن، الحلول هي:
- \( x = 17 \) و \( y = 2 \)
- \( x = -2 \) و \( y = -17 \)