بما أن أ، ب، ج هي زوايا مثلث، فإن:
أ + ب + ج = 180 درجة
نحن نعلم المتطابقة التالية:
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
ولدينا أيضًا:
cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny
المطلوب إثباته هو:
sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC=sinAsinBsinC
لنبدأ من الطرف الأيسر:
sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC
يمكننا تجميع بعض الحدود:
cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC
نحن نعلم أن
sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)
.
إذن، يصبح التعبير:
cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC
بما أن
A+B+C=180
∘
, فإن
A+B=180
∘
−C
.
ونعلم أن
sin(180
∘
−C)=sinC
.
إذن،
sin(A+B)=sinC
.
نعوض هذا في التعبير:
cosCsinC+cosAcosBsinC
نأخذ
sinC
كعامل مشترك:
sinC(cosC+cosAcosB)
الآن، لننظر إلى
cosC
. بما أن
C=180
∘
−(A+B)
:
cosC=cos(180
∘
−(A+B))=−cos(A+B)
cosC=−(cosAcosB−sinAsinB)
cosC=−cosAcosB+sinAsinB
نعوض قيمة
cosC
هذه في التعبير الذي وصلنا إليه:
sinC(−cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB)
نقوم بتبسيط ما بداخل القوسين:
−cosAcosB+cosAcosB=0
يتبقى لدينا
sinAsinB
إذن، يصبح التعبير النهائي:
sinC(sinAsinB)
sinAsinBsinC
وهذا هو الطرف الأيمن للمعادلة الأصلية.
إذن،
sinAcosBcosC+cosAsinBcosC+cosAcosBsinC=sinAsinBsinC
وهو المطلوب إثباته.