تمرين 71 ص 32 رياضيات 3 ثانوي شعب علمية يتناول موضوع نهاية الدالة عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية.
المطلوب:
- تحديد نهاية الدالة f(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية.
- تحديد نهاية الدالة g(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية.
الحل:
الدالة f(x) هي دالة كسرية، حيث المقام يساوي العدد x + 2. عندما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية، فإن المقام يصبح لانهائيًا. في هذه الحالة، فإن الدالة f(x) تقترب من الصفر.
البرهان:
لنفترض أن العدد x يؤول إلى ما لا نهاية. عندئذ، فإن العدد x + 2 يؤول أيضًا إلى ما لا نهاية.
f(x) = (x^3 + 2x^2 + 1)/(x + 2)
عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية، فإن العبارة (x^3 + 2x^2 + 1) تصبح لانهائية، بينما العبارة (x + 2) تصبح أيضًا لانهائية.
f(x) = lim_{x to +infty} ((x^3 + 2x^2 + 1))/(x + 2)
f(x) = lim_{x to +infty} (x^3 + 2x^2 + 1)/(x + 2) * (1/x^3)
f(x) = lim_{x to +infty} (1 + 2/x + 1/x^2)/(1/x)
f(x) = lim_{x to +infty} 1 + 2/x + 1/x^2
f(x) = 1 + 0 + 0
f(x) = 1
إذن، نهاية الدالة f(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية هي 1.
الدالة g(x) هي دالة كسرية، حيث المقام يساوي العدد x^2. عندما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية، فإن المقام يصبح لانهائيًا أيضًا. في هذه الحالة، فإن الدالة g(x) تقترب من الصفر.
البرهان:
لنفترض أن العدد x يؤول إلى ما لا نهاية. عندئذ، فإن العدد x^2 يؤول أيضًا إلى ما لا نهاية.
g(x) = (x^2 + 1)/(x^2)
عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية، فإن العبارة (x^2 + 1) تصبح لانهائية، بينما العبارة (x^2) تصبح أيضًا لانهائية.
g(x) = lim_{x to +infty} ((x^2 + 1))/(x^2)
g(x) = lim_{x to +infty} (1 + 1/x^2)/(x)
g(x) = lim_{x to +infty} 1/x + 1/x^2
g(x) = 0 + 0
g(x) = 0
إذن، نهاية الدالة g(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية هي 0.
ملخص:
نهاية الدالة f(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية هي 1. نهاية الدالة g(x) عند ما يؤول العدد x إلى ما لا نهاية هي 0.