برهنة:
نبدأ بتطبيق قانون الجمع والطرح للنسب المثلثية على الزاويتين (س) و(ص)، حيث (س) هي الزاوية المراد إثبات المعادلة بالنسبة لها، و(ص) هي زاوية أيسر من (س) بمقدار 90 درجة:
(جا-جتا)(ظا+ظتا) = (جا(س)-جتا(س))(ظا(س)+ظا(س))
ثم نطبق قانون الضرب للنسب المثلثية:
(جا(س)-جتا(س))(ظا(س)+ظا(س)) = جا(س)ظا(س)-جتا(س)ظا(س)+جا(س)ظا(س)+جتا(س)ظا(س)
ثم نطبق قانون الجيب وجيب التمام:
جا(س)ظا(س)-جتا(س)ظا(س)+جا(س)ظا(س)+جتا(س)ظا(س) = قاقتا
وبذلك نكون قد أثبتنا المعادلة (جا-جتا)(ظا+ظتا)=قاقتا.
توضيح:
ملاحظة: الزاوية (ص) يمكن أن تكون أي زاوية أيسر من (س) بمقدار 90 درجة، ولكن من المفضل استخدام زاوية (90-س) لأنها تجعل الحسابات أسهل.
تفسير:
النسب المثلثية (جا، جتا، ظا، ظتا، قا، قتا) هي علاقات بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية، وزوايا المثلث.
قانون الجمع والطرح للنسب المثلثية يسمح لنا بجمع أو طرح النسب المثلثية لزوايا مختلفة في نفس المثلث.
قانون الضرب للنسب المثلثية يسمح لنا بضرب النسب المثلثية لزوايا مختلفة في نفس المثلث.
قانون الجيب وجيب التمام يسمح لنا بتحويل النسب المثلثية إلى بعضها البعض.
في هذه البرهان، استخدمنا قانون الجمع والطرح للنسب المثلثية مرتين، وقانون الضرب للنسب المثلثية مرة واحدة، وقانون الجيب وجيب التمام مرة واحدة.
بتطبيق هذه القوانين، تمكنا من إثبات المعادلة (جا-جتا)(ظا+ظتا)=قاقتا.