حل السؤال الأول: العثور على العددين
التحليل:
لدينا معادلتين يمكننا استخدامهما لحل هذه المسألة:
مجموع العددين = 9: نرمز للعدد الأول بـ س والعدد الثاني بـ ص، إذن س + ص = 9.
الفرق بينهما = 5: أي س - ص = 5 أو ص - س = 5. لنفترض أن س هو العدد الأكبر، إذن س - ص = 5.
الحل:
لدينا الآن نظام من معادلتين بمتغيرين:
س + ص = 9
س - ص = 5
بالجمع:
2س = 14
إذن: س = 7
بالتعويض في المعادلة الأولى:
7 + ص = 9
إذن: ص = 2
الاجابة: العددين هما 7 و 2.
حل السؤال الثاني: تبسيط الدالة وإيجاد مجالها
تبسيط الدالة:
ن (س) = (2س + 6) / (2س² - 9) * (س² - 5س + 6) / (6 - س - س²)
تحليل العوامل:
البسط الأول: 2س + 6 = 2(س + 3)
المقام الأول: 2س² - 9 لا يمكن تحليله أكثر على الأعداد الحقيقية.
البسط الثاني: س² - 5س + 6 = (س - 2)(س - 3)
المقام الثاني: 6 - س - س² = -(س² + س - 6) = -(س + 3)(س - 2)
الآن نعوض:
ن (س) = [2(س + 3) / (2س² - 9)] * [(س - 2)(س - 3)] / [-(س + 3)(س - 2)]
نلاحظ أن (س + 3) و (س - 2) تظهر في البسط والمقام ويمكن اختصارهما:
ن (س) = -(س - 3) / (2س² - 9)
إذن، أبسط صورة للدالة هي: ن (س) = (3 - س) / (2س² - 9)
إيجاد المجال:
المجال هو جميع قيم س التي تجعل الدالة معرفة. الدالة غير معرفة عندما يكون المقام يساوي صفر.
إذن، علينا أن نجد قيم س التي تجعل 2س² - 9 = 0.
حل المعادلة:
2س² = 9
س² = 9/2
س = ± √(9/2)
إذن، قيم س التي تجعل الدالة غير معرفة هي: √(9/2) و -√(9/2).
المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا √(9/2) و -√(9/2).
شرح المجال:
يمكننا كتابة المجال على الشكل التالي:
{س ∈ ℝ | س ≠ √(9/2) و س ≠ -√(9/2)}
هذا يعني أن س تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، ولكنها لا تساوي √(9/2) ولا تساوي -√(9/2).
ملحوظة: √(9/2) يمكن كتابتها بصورة أبسط على شكل (3/√2).
خلاصة:
أبسط صورة للدالة هي: ن (س) = (3 - س) / (2س² - 9)
مجال الدالة هو: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا (3/√2) و -(3/√2).