حل مسألة العددين المركبين
تفهم المسألة:
لدينا معلومتان عن عددين مركبين:
مجموعهما: 4 + i
حاصل ضربهما: 5 - i
نفرض المتغيرات:
لنرمز للعددين المركبين بـ:
ز₁ = a + bi
ز₂ = c + di حيث a, b, c, d هي أعداد حقيقية.
نترجم المعلومات إلى معادلات:
بناءً على المعطيات، يمكننا كتابة المعادلتين التاليتين:
(a + bi) + (c + di) = 4 + i
(a + bi)(c + di) = 5 - i
تبسيط المعادلات:
(a + c) + (b + d)i = 4 + i
نستنتج أن: a + c = 4 و b + d = 1
(ac - bd) + (ad + bc)i = 5 - i
نستنتج أن: ac - bd = 5 و ad + bc = -1
حل النظام الناتج:
لدينا الآن نظام من أربع معادلات بأربعة مجاهيل. لحل هذا النظام، يمكننا استخدام عدة طرق، مثل:
الحذف: نطرح المعادلة الأولى من الثانية، ثم نجمع المعادلتين الناتجتين.
الاستبدال: نعبر عن أحد المتغيرات بدلالة الآخرين في إحدى المعادلات، ثم نعوض في المعادلات الأخرى.
الحل بالتفصيل:
سنستخدم طريقة الحذف لتبسيط الحل.
نطرح المعادلتين (a + c) = 4 و (ac - bd) = 5 نحصل على: c - a = 1
نجمع المعادلتين (b + d) = 1 و (ad + bc) = -1 نحصل على: d + b = -1
الآن لدينا النظام التالي:
a + c = 4
c - a = 1
b + d = 1
d + b = -1
بحل هذا النظام، نجد أن:
a = 1.5
b = 1
c = 2.5
d = -2
إيجاد العددين:
بالتالي، العددين المركبين هما:
ز₁ = 1.5 + i
ز₂ = 2.5 - 2i
التحقق:
يمكننا التحقق من صحة الحل بإعادة تعويض قيم a, b, c, d في المعادلتين الأصليتين للتأكد من أنها تحققها.
النتيجة:
إذن، العددان المركبان المطلوبان هما 1.5 + i و 2.5 - 2i.
ملاحظة:
هناك طرق أخرى لحل هذا النوع من المسائل، مثل استخدام المصفوفات أو طريقة كرامر. الاختيار بين الطرق يعتمد على تفضيل الطالب والمعرفة المسبقة بهذه الطرق.
الخلاصة:
تم حل المسألة بنجاح باستخدام أسس الجبر والاعداد المركبة.