لحل المسألة، نبحث عن عددين حاصل ضربهما 9 ومجموعهما 12.
نفترض أن العددين هما \( x \) و \( y \)، إذن:
1. \( x \times y = 9 \)
2. \( x + y = 12 \)
من المعادلة الثانية نعبر عن \( y \) بدلالة \( x \):
\[ y = 12 - x \]
نعوض \( y \) في المعادلة الأولى:
\[ x \times (12 - x) = 9 \]
نقوم بفك الأقواس:
\[ 12x - x^2 = 9 \]
نعيد ترتيب المعادلة لتصبح معادلة تربيعية:
\[ x^2 - 12x + 9 = 0 \]
نحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36}}{2} \]
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{108}}{2} \]
\[ x = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}}{2} \]
\[ x = 6 \pm 3\sqrt{3} \]
إذن العددان هما:
\[ x = 6 + 3\sqrt{3} \]
\[ y = 6 - 3\sqrt{3} \]
أو العكس.
للتأكد من صحة الحل:
\[ (6 + 3\sqrt{3}) \times (6 - 3\sqrt{3}) = 36 - 27 = 9 \]
\[ (6 + 3\sqrt{3}) + (6 - 3\sqrt{3}) = 12 \]
إذن العددان هما \( 6 + 3\sqrt{3} \) و \( 6 - 3\sqrt{3} \).