لا، قطران المستطيل ليسا متعامدين بشكل عام.
يتقاطع قطرا المستطيل في نقطة تسمى النقطة الوسطية، لكن هاتان النقطتان ليستا بزاوية قائمة.
يمكن إثبات ذلك رياضياً باستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو من خلال ملاحظة خصائص المستطيل.
الاستدلال باستخدام مبرهنة فيثاغورس:
لنفترض أن لدينا مستطيلًا بطول
ط وعرض
ع. لنسمِّ النقاط A و B و C و D على التوالي في اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الزاوية اليسرى السفلى.
إذا رسمنا قطراً من A إلى C وقطراً آخر من B إلى D، فإننا نحصل على أربعة مثلثات قائم الزاوية:
مثلث ABC: زاوية A قائمة، وطوله
ط, وعرضه
ع.
مثلث CDA: زاوية D قائمة، وطوله
ط, وعرضه
ع.
مثلث ABD: زاوية B قائمة، وطوله
ع, ووتره هو قطر AC.
مثلث BCD: زاوية C قائمة، وطوله
ع, ووتره هو قطر BD.
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على مثلثي ABD و BCD، نحصل على:
مثلث ABD:
BD
2
=AB
2
+AD
2
=ع
2
+ط
2
مثلث BCD:
CD
2
=BC
2
+BD
2
=ع
2
+BD
2
بمقارنة المعادلتين، نجد أن:
CD
2
=ط
2
+ع
2
+BD
2
وهذا يعني أن:
BD
2
=CD
2
−ط
2
−ع
2
ولكن، نعلم أن
BD و
CD هما قطرا المستطيل، وبالتالي طولهما متساوٍ.
فلو افترضنا أن قطري المستطيل متعامدان، فهذا يعني أن
BD=CD=
ط
2
+ع
2
.
لكن، من المعادلة أعلاه، نجد أن
BD
2
6
=CD
2
، مما يعني أن هذا الافتراض خاطئ.
الاستدلال من خلال خصائص المستطيل:
زوايا المستطيل كلها قوائم.
الضلعان المتقابلان في المستطيل متساويان في الطول.
إذا افترضنا أن قطري المستطيل متعامدان، فهذا يعني أن كلًا من المثلثين ABD و BCD قائم الزاوية ومتساوي الضلعين.
لكن، هذا يتناقض مع حقيقة أن الضلعان المتقابلان في المستطيل ليسا متساويين في الطول (إلا في حالة المربع).
الخلاصة:
من خلال الاستدلالين الرياضيين أعلاه، يمكننا التأكد من أن قطران المستطيل ليسا متعامدين بشكل عام.
ملاحظة:
في حالة المربع، فإن قطريه متعامدان ومتساويان في الطول. وذلك لأن المربع هو حالة خاصة من المستطيل حيث يكون طوله مساويًا لعرضه.