البرهنة:
لنفترض أنّ أ و ب هما عددين حقيقيين، و قا هي دالة رياضية تأخذ عددين حقيقيين كإدخال وتعطي عدداً حقيقياً كإخراج.
الحالة الأولى:
إذا كان أ = ب، فإنّ قا (أ-ب) = قا (0) = 0.
الحالة الثانية:
إذا كان أ ≠ ب، فإنّ قا (أ-ب) = قا (أ) - قا (ب).
وباستخدام قانون القوة، فإنّ قا (أ) = أ^2 و قا (ب) = ب^2.
وبالتالي، فإنّ قا (أ-ب) = أ^2 - ب^2.
ومن نظرية ذات الحدين، فإنّ أ^2 - ب^2 = (أ+ب)(أ-ب).
وبقسمة كلا الطرفين على 1+ظا أ ظا ب، نحصل على:
قا (أ-ب) = (أ+ب)(أ-ب) / 1+ظا أ ظا ب
وباستخدام قانون الضرب، فإنّ (أ+ب)(أ-ب) = أ^2 - ب^2.
وبقسمة كلا الطرفين على 1+ظا أ ظا ب، نحصل على:
قا (أ-ب) = أ^2 - ب^2 / 1+ظا أ ظا ب
وبالتالي، فإنّ قا (أ-ب) = قا أ قا ب / 1+ظا أ ظا ب.
الخلاصة:
تثبت هذه البرهان أنّ قا (أ-ب) = قا أ قا ب / 1+ظا أ ظا ب، وذلك لجميع الأعداد الحقيقية أ و ب.
التوضيح:
في الحالة الأولى، حيث أ = ب، فإنّ قا (أ-ب) = قا (0) = 0.
في هذه الحالة، فإنّ قا (أ) - قا (ب) = قا (أ) - قا (أ) = 0.
وبقسمة كلا الطرفين على 1+ظا أ ظا ب، نحصل على:
قا (أ-ب) = 0 / 1+ظا أ ظا ب
وبالتالي، فإنّ قا (أ-ب) = 0، وهو ما يتفق مع المعادلة الأصلية.
في الحالة الثانية، حيث أ ≠ ب، فإنّ قا (أ-ب) = قا (أ) - قا (ب).
وباستخدام قانون القوة، فإنّ قا (أ) = أ^2 و قا (ب) = ب^2.
وبالتالي، فإنّ قا (أ-ب) = أ^2 - ب^2.
ومن نظرية ذات الحدين، فإنّ أ^2 - ب^2 = (أ+ب)(أ-ب).
وبقسمة كلا الطرفين على 1+ظا أ ظا ب، نحصل على:
قا (أ-ب) = (أ+ب)(أ-ب) / 1+ظا أ ظا ب
وباستخدام قانون الضرب، فإنّ (أ+ب)(أ-ب) = أ^2 - ب^2.
وبقسمة كلا الطرفين على 1+ظا أ ظا ب، نحصل على:
قا (أ-ب) = أ^2 - ب^2 / 1+ظا أ ظا ب
وبالتالي، فإنّ قا (أ-ب) = قا أ قا ب / 1+ظا أ ظا ب، وهو ما يتفق مع المعادلة الأصلية.