الحل:
لإيجاد عددين مركبين حاصل ضربهما 4–i وحاصل ضربهما 5+i، نحتاج إلى إيجاد عددين مركبين تحققان المعادلة التالية:
(a + bi)(c + di) = 4 - i
حيث a و b و c و d أعداد حقيقية.
نقوم بحل المعادلة السابقة للحصول على a و b و c و d:
ac + adi + cbi + bdi = 4 - i
(ac + cbi) + (adi + bdi) = 4 - i
(a + c)i + (b + d) = 4 - i
a + c = 4
b + d = -1
(a - 4)i + (b + 1) = i
a - 4 = 1
b + 1 = 0
a = 5
b = -1
وبالتالي، فإن الأعداد المركبة التي تحققان المعادلة المطلوبة هي:
(5 - i)
(-1 + i)
التوضيح:
نلاحظ أن حاصل ضرب العددين المركبين (5 - i) و (-1 + i) هو:
(5 - i)(-1 + i) = -5 + 5i - i - 1i^2 = -5 + 4i
وبالمثل، فإن حاصل ضرب العددين المركبين (5 - i) و (-1 + i) هو:
(5 - i)(-1 + i) = -5 + 5i - i - 1i^2 = -5 + 4i
وحيث أن حاصل ضرب العددين المركبين هو نفسه في كلتا الحالتين، فإن (5 - i) و (-1 + i) هما العددان المركبان المطلوبان.