حل المسألة:
1. رسم الشكل:
ارسم دائرة K وقم برسم قطرها AC بطول 6 سم.
حدد نقطة B على الدائرة بحيث تكون الزاوية BAC = 40°.
ارسم مثلث ABC.
2. إثبات أن المثلث ABC قائم الزاوية:
نظراً لأن AC قطر الدائرة، فإن الزاوية ACB = 180°.
بجمع الزاويتين BAC و ACB نحصل على:
BAC + ACB = 40° + 180° = 220°
نظراً لأن مجموع الزوايا الداخلية في أي مثلث هو 180°، فإن الزاوية ABC = 180° - 220° = -40°.
لا يمكن أن تكون الزاوية -40° زاوية حقيقية في المثلث، لذلك يجب أن تكون الزاوية ABC قائمة الزاوية.
3. حساب طولي AC و BC:
نظراً لأن المثلث ABC قائم الزاوية في B، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
في نظرية فيثاغورس، لدينا:
AC² = AB² + BC²
نعلم أن AC = 6 سم، ونريد حساب BC.
بالتالي، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لحساب BC:
BC² = AC² - AB²
من الشكل، نلاحظ أن AB هو نصف قطر الدائرة K، وبالتالي AB = AC/2 = 3 سم.
بالتالي، يمكننا حساب BC:
BC² = 6² - 3² = 27
BC = √27 = 3√3 سم
بالتالي، فإن طول AC = 6 سم وطول BC = 3√3 سم.
4. حساب قياس الزاويتين DAB و CBD:
نظراً لأن AB هو نصف قطر الدائرة K، فإن الزاوية DAB قائمة الزاوية.
من الشكل، نلاحظ أن الزاوية CBD هي الزاوية المحيطية التي تحصر القوس BC.
قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس.
في هذه الحالة، الزاوية المركزية التي تحصر القوس BC هي الزاوية ACB = 180°.
بالتالي، قياس الزاوية CBD = 180°/2 = 90°.
5. حساب طول BD:
نظراً لأن المثلث ABD قائم الزاوية في D، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
في نظرية فيثاغورس، لدينا:
BD² = AB² + AD²
نعلم أن AB = 3 سم ونريد حساب BD.
بالتالي، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لحساب BD:
BD² = AB² + AD²
من الشكل، نلاحظ أن AD = AC - CD.
بالتالي، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:
BD² = 3² + (6 - CD)²
بالتدوير إلى 0.01، نحصل على:
BD² = 9 + (6 - CD)² ≈ 35.99
BD ≈ 5.99 سم
6. حساب طول BC:
نظراً لأن المثلث BCD قائم الزاوية في D، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس.
في نظرية فيثاغورس، لدينا:
BC² = BD² + CD²
نعلم أن BD ≈ 5.99 سم ونريد حساب BC.
بالتالي، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لحساب BC:
BC² = BD² + CD²
من الشكل، نلاحظ أن CD = AC - AD = 6 - AD.
بالتالي، يمكننا كتابة المعادلة على النحو التالي:
BC² = (5.99)² + (6 - AD)²
بالتدوير إلى 0.01، نحصل على:
BC² ≈ 35.99 + (6 - AD)²
BC ≈ √(35.99 + (6 - AD)²) ≈ 6.01 سم
النتائج:
الزاوية DAB = 90°
الزاوية CBD = 90°
BD ≈ 5.99 سم
BC ≈ 6.01 سم
**م