حل المسألة:
1. إنجاز الشكل:
ارسم دائرة K مركزها O وقطرها AC.
حدد النقطة B على الدائرة بحيث تكون قياس الزاوية BAC = 40°.
ارسم مثلث ABC.
ارسم خطًا مستقيمًا مماسًا للدائرة K في النقطة B ويقطع AC في النقطة D.
2. إثبات أن المثلث ABC قائم:
نظرًا لأن B نقطة على الدائرة K ومركزها O، فإن OB = OC = نصف قطر الدائرة.
نظرًا لأن OA نصف قطر الدائرة و AC قطر الدائرة، فإن OA = ½ AC.
في المثلث OAB، لدينا: OA² + OB² = AB² (نظرية فيثاغورس).
نظرًا لأن OA = ½ AC و OB = OC، فإن ½ AC² + OC² = AB².
نظرًا لأن OC² = ½ AC²، فإن ½ AC² + ½ AC² = AB².
نجمع الطرفين: AC² = AB².
نظرًا لأن AC² = AB²، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في B.
3. حساب طولي AC و BC:
نظرًا لأن المثلث ABC قائم الزاوية في B، فإن:
AC² = AB² + BC² (نظرية فيثاغورس).
AC = √(AB² + BC²).
نحتاج إلى معرفة AB لحساب AC.
نظرًا لأن B نقطة على الدائرة K، فإن قياس الزاوية OBC = ½ قياس الزاوية BAC = 20°.
نظرًا لأن المثلث OBC قائم الزاوية في B، فإن:
BC² = OB² + OC² (نظرية فيثاغورس).
BC² = (½ AC)² + (½ AC)² = ½ AC².
نستبدل BC² في معادلة AC:
AC² = AB² + ½ AC².
نجمع الطرفين: AC² - ½ AC² = AB².
½ AC² = AB².
AC = √(½ AC²).
AC = √2 * ½ AC.
AC = √2 * 6 cm ≈ 8.49 cm.
نستبدل AC في معادلة BC²:
BC² = ½ AC².
BC² = ½ (8.49 cm)² ≈ 36.21 cm².
BC = √(36.21 cm²) ≈ 6.02 cm.
4. حساب قياسي الزاويتين DAB و CBD:
نظرًا لأن BD مماس للدائرة K في النقطة B، فإن الزاوية CBD = 90°.
نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث ABD يساوي 180°، فإن:
∠DAB + ∠ABD + ∠CBD = 180°.
∠DAB + ∠ABD + 90° = 180°.
∠DAB + ∠ABD = 90°.
نظرًا لأن المثلث ABC قائم الزاوية في B، فإن:
∠BAC + ∠ABC = 90°.
40° + ∠ABC = 90°.
∠ABC = 50°.
نظرًا لأن ∠ABD هو زاوية خارجية للمثلث ABC، فإن:
∠ABD = ∠BAC + ∠ABC = 40° + 50° = 90°.
نستبدل ∠ABD في معادلة ∠DAB + ∠ABD = 90°:
∠DAB + 90° = 90°.
∠DAB = 0°.
5. حساب طول BD:
نظرًا لأن المثلث ABD قائم الزاوية في B، فإن:
BD² = AB² - AD².
نحتاج إلى معرفة AD لحساب BD.
نظرًا لأن AC قطر الدائرة K، فإن AD = ½ AC.
نستبدل AD في معادلة BD²:
BD² = AB² - ½ AC².
BD² = 8.49 cm² - ½ (8.49 cm)² ≈ 25.73 cm².
BD = √(25.73 cm²) ≈ 5.07 cm.