إثبات أن زوايا المثلث ABC تساوي زوايا المثلث AB'C':
لنفترض أن:
ABC مثلث.
AB'C' مثلث آخر.
AB = AB' (أي أن ضلعي AB في المثلثين متساويان الطول).
∠BAC = ∠B'AC' (أي أن زاويتي BAC في المثلثين متساويتان في القياس).
المطلوب: إثبات أن زوايا المثلث ABC تساوي زوايا المثلث AB'C'.
الحل:
من تساوي AB و AB': يتبع من ذلك أن ΔABC ~ ΔAB'C' (بالتجانس).
بالتجانس:
∠ABC = ∠AB'C': أي أن زاويتي ABC في المثلثين متساويتان في القياس.
∠ACB = ∠AC'B': أي أن زاويتي ACB في المثلثين متساويتان في القياس.
بجمع زوايا المثلثين:
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° (مجموع زوايا أي مثلث = 180°).
∠AB'C' + ∠B'AC' + ∠AC'B' = 180° (مجموع زوايا أي مثلث = 180°).
بالتعويض من الخطوات 2 و 3:
∠AB'C' + ∠BAC + ∠AC'B' = 180°.
∠ABC + ∠B'AC' + ∠ACB = 180°.
بالتالي:
∠BAC = ∠B'AC': تم إثباته سابقاً.
∠ABC = ∠AB'C': تم إثباته سابقاً.
∠ACB = ∠AC'B': تم إثباته سابقاً.
وبالتالي:
زوايا المثلث ABC تساوي زوايا المثلث AB'C'.
ملاحظة:
يعتمد هذا الإثبات على افتراض أن ضلعي AB في المثلثين متساويان الطول وزاويتي BAC متساويتان في القياس. إذا لم يكن هذان الشرطان متحققين، فلا يمكننا إثبات تساوي زوايا المثلثين.