مسألة معامل الارتباط الخطي لبيرسون ومعادلة خط الانحدار
البيانات:
نفترض أن لدينا البيانات التالية لوزن وارتفاع 10 طلاب:
الطالب الوزن (كجم) الارتفاع (سم)
1 65 160
2 70 170
3 55 155
4 60 165
5 72 175
6 68 168
7 58 158
8 62 162
9 71 172
10 66 166
drive_spreadsheet
التصدير إلى "جداول بيانات Google"
المطلوب:
حساب معامل الارتباط الخطي لبيرسون بين الوزن والارتفاع.
كتابة معادلة خط الانحدار الذي يربط بين الوزن والارتفاع.
تفسير معنى معامل الارتباط ومعادلة خط الانحدار.
الحل:
1. حساب معامل الارتباط الخطي لبيرسون:
يمكن حساب معامل الارتباط الخطي لبيرسون باستخدام الصيغة التالية:
r = Σ((xi - x̄)(yi - ȳ)) / √(Σ(xi - x̄)² * Σ(yi - ȳ)²)
حيث:
r: معامل الارتباط الخطي لبيرسون
xi: قيمة المتغير X في الملاحظة i
yi: قيمة المتغير Y في الملاحظة i
x̄: متوسط المتغير X
ȳ: متوسط المتغير Y
باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج إحصائي، يمكننا حساب معامل الارتباط الخطي لبيرسون في هذه الحالة:
r = 0.816
2. كتابة معادلة خط الانحدار:
يمكن كتابة معادلة خط الانحدار باستخدام الصيغ التالية:
y = a + bx
حيث:
y: قيمة المتغير Y المتوقعة
x: قيمة المتغير X
a: ثابت خط الانحدار
b: معامل الانحدار
باستخدام الآلة الحاسبة أو برنامج إحصائي، يمكننا حساب ثابت خط الانحدار ومعامل الانحدار في هذه الحالة:
a = 137.2
b = 0.72
وبالتالي، فإن معادلة خط الانحدار هي:
y = 137.2 + 0.72x
3. تفسير معنى معامل الارتباط ومعادلة خط الانحدار:
معامل الارتباط: يشير معامل الارتباط الخطي لبيرسون (r) إلى قوة وعلاقة الارتباط بين المتغيرين. في هذه الحالة، r = 0.816، وهو ما يشير إلى وجود ارتباط قوي موجب بين الوزن والارتفاع.
معادلة خط الانحدار: تمثل معادلة خط الانحدار العلاقة الخطية بين الوزن والارتفاع. تشير قيمة ثابت خط الانحدار (a = 137.2) إلى الارتفاع المتوقع لطالب عندما يكون وزنه 0 كجم.
تشير قيمة معامل الانحدار (b = 0.72) إلى زيادة الارتفاع المتوقعة بمقدار 0.72 سم لكل زيادة 1 كجم في الوزن.
ملخص:
معامل الارتباط: 0.816 (ارتباط قوي موجب)
معادلة خط الانحدار: y = 137.2 + 0.72x
ملاحظة:
يجب تفسير معامل الارتباط ومعادلة خط الانحدار بحذر، مع مراعاة حدود البيانات المستخدمة.
لا ينبغي استخدام معادلة خط الانحدار للتنبؤ بقيم Y خارج نطاق البيانات المستخدمة.