لحل المسألة، نبحث عن عددين مجموعهما 206، وعند قسمة العدد الأكبر على الأصغر يكون خارج القسمة (الحاصل) مساوياً لباقي القسمة.
نفترض أن العدد الأصغر هو \( س \)، والعدد الأكبر هو \( 206 - س \).
عند قسمة العدد الأكبر على الأصغر:
\[
\frac{206 - س}{س} = حاصل + باقي
\]
حيث أن حاصل القسمة يساوي باقي القسمة، نرمز لهما بـ \( ص \).
إذن:
\[
\frac{206 - س}{س} = ص + ص = 2ص
\]
لأن حاصل القسمة يساوي باقي القسمة.
نعيد ترتيب المعادلة:
\[
206 - س = 2ص \cdot س
\]
\[
206 = س (2ص + 1)
\]
نبحث عن قيم صحيحة لـ \( س \) و \( ص \) تحقق المعادلة. بتجريب الأعداد نجد أن:
- إذا كانت \( س = 103 \)، فإن:
\[
206 = 103 (2ص + 1)
\]
\[
2ص + 1 = 2 \Rightarrow ص = 0.5
\]
وهذا غير صحيح لأن \( ص \) يجب أن تكون عدداً صحيحاً.
- إذا كانت \( س = 68 \)، فإن:
\[
206 = 68 (2ص + 1)
\]
\[
2ص + 1 = 3 \Rightarrow ص = 1
\]
وهذا يحقق الشرط.
إذن العدد الأصغر هو 68، والعدد الأكبر هو:
\[
206 - 68 = 138
\]
للتأكد:
\[
\frac{138}{68} = 2 \text{ مع باقي } 2
\]
حيث أن حاصل القسمة (2) يساوي باقي القسمة (2).
إذن العددان هما **68 و 138**.