لحل المسألة، نبحث عن عددين مجموعهما 206، وعند قسمة العدد الأكبر على الأصغر يكون ناتج القسمة (حامل القسمة) مساويًا للباقي (راقي القسمة).
نفترض أن العدد الأصغر هو \( س \)، والعدد الأكبر هو \( 206 - س \).
عند قسمة العدد الأكبر على الأصغر:
\[
\frac{206 - س}{س} = حامل\ القسمة + \frac{راقي\ القسمة}{س}
\]
حيث أن حامل القسمة يساوي راقي القسمة، نرمز لهما بالرمز \( ق \). إذن:
\[
\frac{206 - س}{س} = ق + \frac{ق}{س}
\]
بضرب الطرفين في \( س \):
\[
206 - س = ق \cdot س + ق
\]
نرتب المعادلة:
\[
206 = س (ق + 1) + ق
\]
نلاحظ أن \( ق \) يجب أن تكون أصغر من \( س \) لأنها باقي القسمة. بالاختبار نجد أن \( ق = 14 \) و \( س = 14 \) لا تحقق الشرط، ولكن عند \( ق = 13 \):
\[
206 = س (13 + 1) + 13
\]
\[
206 = 14س + 13
\]
\[
14س = 193
\]
\[
س = \frac{193}{14} \approx 13.785
\]
هذه القيمة ليست عددًا صحيحًا، لذا نستمر بالاختبار.
عند \( ق = 12 \):
\[
206 = س (12 + 1) + 12
\]
\[
206 = 13س + 12
\]
\[
13س = 194
\]
\[
س = \frac{194}{13} \approx 14.923
\]
أيضًا ليست عددًا صحيحًا.
عند \( ق = 11 \):
\[
206 = س (11 + 1) + 11
\]
\[
206 = 12س + 11
\]
\[
12س = 195
\]
\[
س = \frac{195}{12} = 16.25
\]
ليست عددًا صحيحًا.
عند \( ق = 10 \):
\[
206 = س (10 + 1) + 10
\]
\[
206 = 11س + 10
\]
\[
11س = 196
\]
\[
س = \frac{196}{11} \approx 17.818
\]
ليست عددًا صحيحًا.
عند \( ق = 9 \):
\[
206 = س (9 + 1) + 9
\]
\[
206 = 10س + 9
\]
\[
10س = 197
\]
\[
س = \frac{197}{10} = 19.7
\]
ليست عددًا صحيحًا.
عند \( ق = 8 \):
\[
206 = س (8 + 1) + 8
\]
\[
206 = 9س + 8
\]
\[
9س = 198
\]
\[
س = \frac{198}{9} = 22
\]
هنا \( س = 22 \) عدد صحيح، والعدد الأكبر هو:
\[
206 - 22 = 184
\]
نختبر القسمة:
\[
\frac{184}{22} = 8 \text{ مع باقي } 8
\]
وهذا يحقق الشرط المطلوب.
إذن العددان هما:
\[
\boxed{22 \text{ و } 184}
\]