لحل المسألة، نبحث عن عددين مجموعهما 206، وعند قسمة العدد الأكبر على الأصغر يكون خارج القسمة (الحاصل) مساويًا للباقي.
نفترض أن العدد الأصغر هو \( س \)، والعدد الأكبر هو \( 206 - س \).
عند قسمة العدد الأكبر على الأصغر:
\[
\frac{206 - س}{س} = حاصل + باقي
\]
حيث أن الحاصل والباقي متساويان، نرمز لهما بالرمز \( ح \).
إذن:
\[
206 - س = س \cdot ح + ح
\]
\[
206 - س = ح (س + 1)
\]
\[
ح = \frac{206 - س}{س + 1}
\]
نعلم أن \( ح \) يجب أن يكون عددًا صحيحًا، لذا نجرب قيمًا مناسبة لـ \( س \).
بالتجريب نجد أن \( س = 25 \) يحقق الشرط:
\[
ح = \frac{206 - 25}{25 + 1} = \frac{181}{26} = 7
\]
إذن، العدد الأصغر هو 25، والعدد الأكبر هو:
\[
206 - 25 = 181
\]
للتأكد:
\[
\frac{181}{25} = 7 \text{ مع باقي } 6
\]
يبدو أن هناك خطأ في الحل، لذا نعيد التجريب.
نجرب \( س = 26 \):
\[
ح = \frac{206 - 26}{26 + 1} = \frac{180}{27} = 6.666...
\]
لا ينطبق.
نجرب \( س = 24 \):
\[
ح = \frac{206 - 24}{24 + 1} = \frac{182}{25} = 7.28
\]
لا ينطبق.
نجرب \( س = 23 \):
\[
ح = \frac{206 - 23}{23 + 1} = \frac{183}{24} = 7.625
\]
لا ينطبق.
نجرب \( س = 22 \):
\[
ح = \frac{206 - 22}{22 + 1} = \frac{184}{23} = 8
\]
إذن، العدد الأصغر هو 22، والعدد الأكبر هو:
\[
206 - 22 = 184
\]
للتأكد:
\[
\frac{184}{22} = 8 \text{ مع باقي } 8
\]
هذا يحقق الشرط.
إذن، العددان هما **22 و 184**.