لحل المسألة، نبحث عن عددين مجموعهما 206، وعند قسمة العدد الأكبر على الأصغر يكون ناتج القسمة (حامل القسمة) مساويًا للباقي (راقي القسمة).
نفترض أن العددين هما \( x \) (العدد الأكبر) و \( y \) (العدد الأصغر). إذن:
1. \( x + y = 206 \)
2. عند قسمة \( x \) على \( y \)، يكون الناتج \( q \) والباقي \( r \)، أي:
\[
x = q \cdot y + r
\]
وحسب الشرط، \( q = r \).
بالتعويض من الشرط الأول:
\[
x = 206 - y
\]
نعوض في المعادلة الثانية:
\[
206 - y = q \cdot y + q
\]
\[
206 = y(q + 1) + q
\]
نعلم أن \( q = r \)، والباقي \( r \) يجب أن يكون أقل من \( y \)، أي \( q < y \).
بالتجريب نجد أن العددين هما **205** و **1**:
- \( 205 + 1 = 206 \)
- عند قسمة 205 على 1:
\[
205 = 1 \cdot 205 + 0
\]
هنا الناتج \( q = 205 \) والباقي \( r = 0 \)، وهذا لا يحقق الشرط \( q = r \).
لذا، نبحث عن حل آخر. لنفترض \( q = r = 5 \):
\[
206 = y(5 + 1) + 5
\]
\[
206 = 6y + 5
\]
\[
6y = 201 \Rightarrow y = 33.5
\]
هذا غير صحيح لأن \( y \) يجب أن يكون عددًا صحيحًا.
نجرب \( q = r = 4 \):
\[
206 = y(4 + 1) + 4
\]
\[
206 = 5y + 4
\]
\[
5y = 202 \Rightarrow y = 40.4
\]
أيضًا غير صحيح.
نجرب \( q = r = 3 \):
\[
206 = y(3 + 1) + 3
\]
\[
206 = 4y + 3
\]
\[
4y = 203 \Rightarrow y = 50.75
\]
غير صحيح.
نجرب \( q = r = 2 \):
\[
206 = y(2 + 1) + 2
\]
\[
206 = 3y + 2
\]
\[
3y = 204 \Rightarrow y = 68
\]
إذن:
\[
x = 206 - 68 = 138
\]
التحقق:
\[
138 \div 68 = 2 \text{ والباقي } 2
\]
وهذا يحقق الشرط \( q = r = 2 \).
إذن، العددان هما **138** و **68**.