اثبت ان cos4x+sin2x=cos2x+sin4x؟

Question

سؤال اثبت ان cos4x+sin2x=cos2x+sin4x؟

Answer 1

إثبات cos^4x + sin^2x = cos^2x + sin^4x

يمكن إثبات هذه المتطابقة باستخدام عدة طرق، سنعرض عليك اثنين من أشهرها:

الطريقة الأولى:

1. نبدأ من المتطابقة:

cos^2x + sin^2x = 1

1. نقوم برفع كلا الطرفين إلى الأس الثاني:

(cos^2x + sin^2x)^2 = 1^2

1. نستخدم التوزيع:

cos^4x + 2cos^2x sin^2x + sin^4x = 1

1. نعلم أن cos^2x + sin^2x = 1:

cos^4x + 2(1 - cos^4x) + sin^4x = 1

1. نقوم بجمع الحدود المتشابهة:

2cos^4x + 2sin^4x = 2

1. نقسم كلا الطرفين على 2:

cos^4x + sin^4x = cos^2x + sin^2x

الطريقة الثانية:

1. نستخدم متطابقات دي موافر:

cos 4x = 2cos^2 2x - 1
sin 4x = 2sin^2 2x - 1

1. نعوض عن cos 4x و sin 4x في المتطابقة الأصلية:

2cos^2 2x - 1 + sin^2x = cos^2x + 2sin^2 2x - 1

1. نقوم بجمع الحدود المتشابهة:

cos^2 2x + sin^2x = cos^2x + sin^2 2x

1. نلاحظ أن cos^2 2x + sin^2 2x = 1:

1 + sin^2x = cos^2x + 1

1. نقوم بطرح 1 من كلا الطرفين:

sin^2x = cos^2x

1. نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين:

sin x = cos x

1. نلاحظ أن هذه المتطابقة غير صحيحة دائماً.

الاستنتاج:

من خلال الطريقتين، نرى أن المتطابقة cos^4x + sin^2x = cos^2x + sin^4x غير صحيحة.

ملاحظة:

قد تكون هناك بعض الأخطاء في الكتابة أو النسخ في المتطابقة الأصلية.

التصحيح:

المتطابقة الصحيحة هي:

cos^4x + sin^4x = cos^2x + sin^2x + 2cos^2x sin^2x

إثبات المتطابقة الصحيحة:

يمكن إثبات هذه المتطابقة باستخدام نفس الطرق المذكورة أعلاه مع بعض التعديلات البسيطة.

الخلاصة:

المتطابقة cos^4x + sin^2x = cos^2x + sin^4x غير صحيحة، بينما المتطابقة cos^4x + sin^4x = cos^2x + sin^2x + 2cos^2x sin^2x هي المتطابقة الصحيحة.