الجواب:
نعم، حاصل ضرب اقترانين فرديين هو اقتران زوجي.
البرهان:
لنفترض أن لدينا اقترانين فرديين f(x) وg(x)، أي أن:
f(−x)=−f(x) g(−x)=−g(x)
إذن، حاصل ضربهما:
(f(x)⋅g(x))(−x)=f(−x)⋅g(−x)⋅(−x)
وباستخدام خصائص الضرب، نحصل على:
f(−x)⋅g(−x)⋅(−x)=−f(x)⋅−g(x)⋅x
وباستخدام خصائص الاقترانات الفردية، نحصل على:
−f(x)⋅−g(x)⋅x=f(x)⋅g(x)⋅x
وهذا يعني أن حاصل ضرب اقترانين فرديين هو اقتران زوجي، أي أن:
(f(x)⋅g(x))(−x)=f(x)⋅g(x)⋅x
مثال:
لنفترض أن f(x)=x3 وg(x)=x2، إذن:
f(−x)=(−x)3=−x3 g(−x)=(−x)2=x2
وبالتالي، حاصل ضربهما:
(f(x)⋅g(x))(−x)=(x3⋅x2)(−x)=−x5
وهذا الاقتران زوجي، حيث:
−x5=(−1)⋅x5
خاتمة:
بناءً على البرهان أعلاه، نستطيع القول أن حاصل ضرب اقترانين فرديين هو اقتران زوجي.