الجواب:
نبدأ بتوضيح معنى مشتقة ص (صاد فتحة). مشتقة ص هي التغير في قيمة ص بالنسبة للتغير في قيمة س. أي أن مشتقة ص = (تغير ص) / (تغير س).
في هذه الحالة، نريد إثبات أن مشتقة ص = ص÷س.
لفعل ذلك، نبدأ بحل المعادلة (س+ص)٣=ه٥×س٢×ص.
نقوم بتطبيق قانون التوزيع على الطرف الأيسر من المعادلة، لنحصل على:
س٣+٣س٢ص+3سص²+ص³=ه٥×س٢×ص
نقوم بإعادة ترتيب المعادلة، لنحصل على:
ص³+3سص²=ه٥×س٢×ص-س³
نقوم بحذف ص³ من كلا طرفي المعادلة، لنحصل على:
3سص²=ه٥×س²×ص-س³
نقوم بقسمة كلا طرفي المعادلة على س، لنحصل على:
3ص²=ه٥×س×ص-س²
نقوم بإعادة ترتيب المعادلة، لنحصل على:
ص²=ه٥×س×ص/4
نقوم بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، لنحصل على:
ص=√(ه٥×س×ص/4)
نقوم بأخذ عامل س خارج الجذر، لنحصل على:
ص=س√(ه٥/4)
نرى أن مشتقة ص = (تغير ص) / (تغير س) = (√(ه٥/4)) / (س) = ص÷س.
الإثبات:
لدينا المعادلة (س+ص)٣=ه٥×س٢×ص
نقوم بتطبيق قانون التوزيع على الطرف الأيسر من المعادلة، لنحصل على:
س٣+٣س²ص+3سص²+ص³=ه٥×س٢×ص
نقوم بإعادة ترتيب المعادلة، لنحصل على:
ص³+3سص²=ه٥×س²×ص-س³
نقوم بحذف ص³ من كلا طرفي المعادلة، لنحصل على:
3سص²=ه٥×س²×ص-س³
نقوم بقسمة كلا طرفي المعادلة على س، لنحصل على:
3ص²=ه٥×س×ص-س²
نقوم بإعادة ترتيب المعادلة، لنحصل على:
ص²=ه٥×س×ص/4
نقوم بأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة، لنحصل على:
ص=√(ه٥×س×ص/4)
نقوم بأخذ عامل س خارج الجذر، لنحصل على:
ص=س√(ه٥/4)
نرى أن مشتقة ص = (تغير ص) / (تغير س) = (√(ه٥/4)) / (س) = ص÷س.
وبالتالي، فإن مشتقة ص = ص÷س.